y( ψ

4Wo_WF_HO/QMEW_5/6-5-15
[Fortsetzung harmonischer Oszillator]
•
Explizite Berechnung der WF des HO
↓
n
ψ ( y) → ψ n ( y ) = ∑ a k y e
k
↑
−
y2
2
mit a k + 2 =
k =0
2k + 1 − α
ak
( k + 1) ( k + 2)
=
α = 2 n +1
2 (k − n )
ak .
( k + 1) ( k + 2)
n = 0: wähle a1 = 0 , damit sind alle a 2 k +1 = 0 , alle ungeraden Potenzen entfallen, WF gerade
→ ψ 0 ( y) = a 0 e
−
y2
2
= c0 e
−
y2
2
n = 1: wähle a 0 = 0 , damit alle a 2 k = 0 , alle geraden Potenzen entfallen, WF ungerade
Rekursionsformel führt auf a 3 = 0 , usw.
→ ψ1 ( y ) = a 1 y e
−
y2
2
= c1 2 y e
−
y2
2
n = 2: wähle a1 = 0 , damit alle a 2 k +1 = 0 , WF gerade
Rekursionsformel führt auf a 2 =
→ ψ 2 ( y) = a 0 (1 − 2 y ) e
2
−
y2
2
2( 0 − 2)
a 0 = −2a 0 .
(0 + 1)(0 + 2)
= c 2 (4 y − 2) e
2
−
y2
2
n = 3: wähle a 0 = 0 , also alle a 2 k = 0 , WF ungerade
Rekursionsformel führt auf a 3 =
2  −

→ ψ 3 ( y) = a1  y − y 3  e
3 

y2
2
2(1 − 3)
4
2
a1 = −
a1 = − a1 .
(1 + 1)(1 + 2)
2 ⋅3
3
= c3 (8 y − 12 y) e
3
−
y2
2
n = 3: wähle a1 = 0 , …
Alle WF ψ n ( y) sind proportional zu einer Konstanten cn. Diese vor der Normierung freien
Konstanten haben wir mit c 0 = a 0 , c1 =
a1
, c 2 = −2a 0 , c 3 = −12 a 1 usw. so gewählt, dass die
2
WF in der Form
1
ψ n ( y) = c n H n ( y) e
−
y2
2
mit H n ( y) := (−1) n e y
( )
d n − y2
e
dy n
2
(3.11)
darstellbar sind. Die Funktionen Hn(y) heißen Hermite´sche Polynome.
Beweis: Für f ( y) = e − y ist
2
→ f ′( y) = −2 y e − y also H1 ( y) = 2 y ,
2
→ f ′′( y) = −2 e − y + 4 y 2 e − y = (4 y 2 − 2) e − y also H 2 ( y) = 4 y 2 − 2 ,
2
2
2
→ f ′′′( y) = 4 y e− y + 8y 2 e− y − 8y3 e − y = (12 y − 8y 3 ) e − y also H 3 ( y) = 8 y 3 − 12 y ,
2
2
2
2
→ usw.
Bemerkung: Gleichung (3.5) gehört zu den ODE der Form g 2 ( x ) y′′ + g1 ( x ) y′ + g( x ) y = 0 ,
die sich durch orthogonale Polynome lösen lassen. (vgl. Abramowitz/Stegun, Pocket book of
mathematical functions (selected material), Kap. 22.6, S. 340):
22.6.19
22.6.20
g2(x)
g1(x)
g0(x)
y(x)
1
- 2x
2n
Hn(x)
1
0
2n + 1 - x
2
e
−
x2
2
H n (x)
5-5-15
1
x
 h 2
Nach Rücktransformation zu dimensionsbehafteten Größen mit (3.3) y = , b := 
 folgt
b
 mω 
mω
x
 mω  − 2 h x 2
 x  − 2b
.
ψ n (x ) = c n H n 
= c n H n 
x  e
e
h
 b


2
∞
Die Konstanten cn werden aus der Normierungsbedingung
∫ dx
ψ n (x )
2
= 1 ermittelt (→
−∞
Übungsblatt).
2
Bem.: Alternativ zu der rekursiven Bestimmung von cn (→ Übungsblatt) lassen sich die zu berechnenden
Ausdrücke auf das Integral
∞
∫ dy y
n −r y
2 2
e
0
 n +1
Γ

2
=  n +1  , n + 1, r > 0 zurückführen.
2r
Zur Erinnerung: Die Gamma-Funktion
∞
∫
Γ( x ) := dt e − t t x −1 , Γ( x + 1) = x Γ( x ) mit Γ(n ) = n! für natürliche Zahlen n , Γ(1) = 1
0
verallgemeinert n Fakultät n!:= n ⋅ (n − 1) ⋅ (n − 2) ⋅ , ..., ⋅ 2 ⋅ 1
auf reelle Zahlen x. Grafik von Γ ( x ) → Bronstein, S. 155.
Insgesamt erhalten wir folgende WF für den eindimensionalen harmonischen Oszillator
1
 mω  4

ψ n ( x ) = 
 πh 
•
mω
 mω  − 2 h x 2
H n 
x  e
, n = 0,1, 2 , ... WF des HO.
h
2 n n!


1
(3.12)
Aufenthaltswahrscheinlichkeitsdichten für harmonisch gebundene Quanten
QM: Aus (4.10) folgt für die Wahrscheinlichkeit wn(x), ein qmT mit Energie En im Intervall
(x, x + dx) anzutreffen, der Ausdruck
1
2
 mω  2 1   mω  − mhω x 2
 n
w n ( x ) = ψ n ( x ) = 
x  e
, n = 0,1, 2 , ... AWD für den HO
H n 
π
h
2
n
!
h
 



2
KM: Die Wahrscheinlichkeit wkl(x), das klassische Teilchen an einem Punkt x aus dem
Intervall (x, x + dx) anzutreffen ist proportional zum Zeitintervall dt, in dem das Teilchen die
Strecke dx durchläuft. Da jedes dx pro Periodendauer T zweimal durchlaufen wird, folgt für
die "AWD des klassischen Teilchens"
dx
dt
ω dx
w kl ( x ) dx = 2 = 2 v =
.
2π π v( x )
T
ω
3
Für die Abhängigkeit der Geschwindigkeit v vom Ort x finden wir mit x ( t ) = a cos( ωt )
2
1
x
v( t ) = − a ω sin( ωt ) also v( x ) = ± a ω 1 − cos 2 (ωt ) = + a ω 1 −   = ω (a 2 − x 2 ) 2 . Also ist
a
1

für x < a
1

2
2 2
 π (a − x )

w kl ( x ) = 
.

0 für x ≥ a


Obwohl wkl an den Umkehrpunkten der klassischen Bewegung divergiert, ist die Bedingung
∞
∫ dx w
2
kl
( x ) = 1 erfüllt, denn
−∞
∞
a
1
1
1  π  π 
x
∫− ∞dx w kl (x) = −∫a dx π a 2 − x 2 a2=>x2 π arcsin a  −a = π [ arcsin(1) − arcsin(−1)] = π  2 −  − 2  = 1
a
1
T/2
∫ dt
x max
oder (ii)
∫ dx w
x min
kl ( x )
=
0
T/2
=1.
m 2 mω2 2 m 2 2
Die Schwingungsamplitude a ist wegen E = v +
x = a ω gleich a =
2
2
2
2E
.
mω2
Für hohe Werte der Quantenzahl n (hoch angeregte Zustände) nähern sich klassische und
quantenmechanische AWD an
lim ψ n ( x )
n→∞
2
= w kl ( x ) ,
FAZIT WF und AWD des HO (vgl. Abbildung folgende Seite sowie Übungsblatt)
- WF des HO gerade oder ungerade, Knotensatz erfüllt
- "oszillierende"/exponentiell abklingende WF im klassisch erlaubten/verbotenen Bereich der
Bewegung
- mit steigender Quantanzahl n zunehmend schärfer ausgeprägten lokalen Maxima von wn(x)
in der Nähe der Umkehrpunkte der klassischen Bewegung, dabei aber lim ψ n ( x ) = w kl ( x ) .
2
n →∞
4
5
• Orthogonalität der WF des HO, U( x ) =
ψ ′l′( x ) +
2m
[ E l − U ( x )] ψ l ( x ) = 0
h2
ψ ′k′ ( x ) +
2m
[ E l − U ( x )] ψ k ( x ) = 0 − ψ l
h2
mω2 2
x zu unterschiedlichen Quantenzahlen n
2
ψk
_______________________________________________________
ψ k ψ ′l′ − ψ l ψ ′k′ =
2m
d
(ψ k ψ ′l − ψ l ψ′k ) = 2 ( E k − E l ) ψ k ψ l
h
dx
Nach Integration beider Seiten in [a,b] folgt ψ k ψ ′l
b
a
− ψ l ψ ′k a =
b
b
2m
( E k − E l ) ∫ dx ψ k ψ l .
h2
a
Offensichtlich haben wir ψ k ( x ) , ψ l ( x ) → 0 für | x |→ ∞ . Damit ergibt sich im Grenzfall
a → − ∞ und b → ∞
∞
2m
0 = 2 ( E k − E l ) ∫ dx ψ k ( x ) ψ l ( x )
h
−∞
= 0 für k ≠ l
.

≠ 0 für k = l
Unter Berücksichtigung der Normierung finden wir
∞
∫ dx ψ
k
( x ) ψ l ( x ) = δ kl → die Wellenfunktionen sind orthonormiert!
−∞
Weil wir die explizite Form von U(x) nicht verwendet haben, gilt das nicht etwa nur für den
HO, sondern für die Bewegung in allen `vernünftigen` U(x) und, wie sich bald herausstellen
wird, noch viel allgemeiner.
2m
Für den HO folgt 0 = 2 ( E k − E l )
h b
∞
x2
1
 x   x  − b2
dx
H
, also sind die
 Hl   e
k
∫
π 2 n n!  b   b 
−∞
gewichteten Hermite´schen Polynome orthonormiert.
6
Bemerkungen:
(i) Während das klassische Teilchen im Potenzialminimum ruhen kann (E = 0, x = 0, px = 0,
wkl(x) = δ(x)), liegt der Grundzustand des qmT bei E 0 =
Wir werden sehen, dass E 0 =
hω
mit w 0 ( x ) = ψ 0 ( x )
2
2
~e
−
mω 2
x
h
.
hω
≠ 0 eine Konsequenz aus der Unschärferelation (UR) ist, die
2
im vorliegenden Fall die gleichzeitige scharfe Messung von Ort und Impuls einschränkt. Es
wird sich zeigen, dass E0 = hω /2 der kleinste mit der UR vereinbare Wert der Energie des HO
ist.
(ii) Isotroper ( ω1 = ω2 = ω3 =: ω ) dreidimensionaler HO → U( r ) =
mω2 2
r . Zu lösen ist nun
2
die Gleichung
Ĥ ψ ( r ) = E ψ ( r ) mit Ĥ = −
h 2 2 mω2 2
h2  ∂2
∂2
∂ 2  mω2 2
 2 + 2 + 2  +
∇ +
r =−
(x + y 2 + z 2 ) .
2m
2
2m  ∂x
∂y ∂z 
2
Da Ĥ = Ĥ x + Ĥ y + Ĥ z , Ĥ i := −
h 2 ∂ 2 mω2 2
+
x i , i = 1, 2, 3 , bietet sich der Separationsansatz
2m ∂x 2i
2
ψ (r ) = ψ n x n y n z ( x , y, z) = ψ n x ( x ) ⋅ ψ n y ( y) ⋅ ψ n z (z)
an, wobei die ψ ni ( x i ) die WF des eindimensionalen HO sind (nachprüfen).
Das Energiespektrum ist wie zu erwarten diskret

E n = E n1 + E n2 + E n3 =  n 1 + n 2 + n 3 +

3

 hω =  n +
2

3
 hω, n := n 1 + n 2 + n 3 (nachprüfen)
2
aber im Gegensatz zum eindimensionalen Fall sind bis auf den Grundzustand E 0 = 3 / 2 hω
alle Zustände entartet, denn En hängt nur von der Summe n = n1 + n2 + n3 der Quantenzahlen
ni ab. Dem ersten angeregten Zustand E1 = 5 / 2 hω entsprechen drei WF ψ100 , ψ 010 , ψ 001 , dem
zweiten angeregten Zustand die WF ψ 200 , ψ 020 , ... ψ110 , .. usw. Der Entartungsgrad ist
n
∑ (n − n
n1 = 0
1
− 1) = ( n + 1)( n + 2) / 2 (warum?).
Ursache der Entartung ist die Symmetrie des Potenzials. Wird diese gebrochen, spalten sich
die Energieniveaus auf …
7
4.
Quantenmechanische Erwartungswerte
Aus der Aufenthaltswahrscheinlichkeitsdichte (AWD) w( x, t ) = ψ( x, t )
2
ergibt sich für die
mittlere Koordinate/Position eines sich in x-Richtung ( − ∞ < x < ∞ ) bewegenden qmT
2
x = ∫ dx x ψ( x , t ) =
V
∞
∫ dx ψ ( x, t ) ⋅ x ⋅ ψ ( x, t ) .
*
(4.1)
−∞
1. Frage: Wie berechnet sich der mittlere Impuls dieses qmT?
~ ( p, t ) dafür, dass der Impuls p zum Zeitpunkt t ∈ ( t , t + dt ) den
Dazu benötigen wir die WD w
~ ( p, t ) betrachten wir die FourierWert p ∈ ( p, p + dp) annimmt. Zur Bestimmung von w
Transformierte φ( p, t ) von ψ( x , t ) (vgl. Fourier-Transformation und Fourier-Integral auf dem
ersten Übungsblatt) entsprechend
∞
1
ψ( x , t ) =
2π h
∫ dp φ( p, t ) e
p
i x
h
bzw.
−∞
1
φ( p, t ) =
2π h
∞
∫ dx ψ( x, t ) e
p
−i x
h
.
(4.2a/b)
−∞
Es gilt
∞
∫ dp φ( p, t )
=
2
−∞
∞
*
∫ dp φ φ =
−∞
∞
∫
∞
dp
−∞
p
φ*( p , t )
=
∞
∫ dx ψ( x, t )
2
∞
∞
p
∞
i x
i x
1
1
dx ψ* e h ⋅ φ = ∫ dx ψ*
dp φ e h = ∫ dx ψ*ψ =
∫
∫
2π h − ∞
2π h − ∞
−∞
1444
2444
3
144
42444
3 −∞
ψ ( x ,t )
= 1.
−∞
∞
Die Relation
∫ dp
φ( p , t )
2
= 1 (das Parseval´sche Theorem der Fourier-Transformation) legt
−∞
nahe, φ( p, t )
2
~ ( p, t ) dp aufzufassen. Damit ergibt
dp als die gesuchte Wahrscheinlichkeit w
sich für den Erwartungswert/ Mittelwert des Impulses der Ausdruck
p =
∞
∫ dp p
φ(p, t )
2
.
−∞
8
2. Frage: Kann man den quantenmechanischen Erwartungswert p durch die "ursprüngliche"
WF ψ(x,t) ausdrücken (wir unterdrücken die Variable t im Folgenden)?
Wir haben
p =
∞
∫ dp p φ( p, t )
2
=
−∞
∞
*
∫ dp φ( p) p φ ( p) =
−∞
∞
∫
dp φ( p) p
−∞
∞
p
i x
1
*
h
dx
ψ
(
x
)
e
=
2 π h −∫∞
1444
424444
3
φ* ( p )
=
∞
∫ dx ψ ( x )
*
−∞
1
2π h
∞
∫ dp p φ( p) e
p
i x
h
−∞
∞
d 

= ∫ dx ψ*( x )  − i h 
dx 

−∞
∞
p
i x
1
h
dp
φ
(
p
)
e
2 π h −∫∞
144424443
´
ψ( x )
Infolgedessen gilt
p =
∞
∫ dx ψ ( x ) p̂ ψ ( x )
*
mit p̂ := − i h
−∞
Analog finden wir
pn =
∞
n
∫ dp p φ(p, t ) = ... =
2
−∞
d
.
dx
∞
∫ dx ψ (x ) p̂
*
n
ψ( x) ,
−∞
und wenn wir voraussetzen, dass die Funktion f(p) in eine Taylor-Reihe entwickelbar ist,
f ( p) =
∞
∫ dp f ( p) φ( p, t ) = ... =
2
−∞
∞
∫ dx ψ ( x ) f ( p̂) ψ( x ) , wobei i.a.
*
f ( p) ≠ f ( p ) .
−∞
Im dreidimensionalen Fall wird aus x → r , aus p → p , aus dx → d 3r und aus dp → d 3p . Die
analoge Rechnung führt auf
p =
∞
∫ dx ψ ( x ) p̂ ψ( x )
*
mit p̂ := − i h ∇ =
−∞
h
∇.
i
(4.3)
Wir nennen den Operator p̂ den Impulsoperator des qmT.
Den quantenmechanischen Erwartungswert einer klassischen Phasenraumvariablen, einer
sogenannten Observablen, Q(p, r, t ) im Zustand ψ(r,t) schreiben wir in der Form
Q
ψ
= ∫ d 3r ψ*( r, t ) Q̂ ψ ( r, t )
(4.4)
9
Dieser Erwartungswert bezieht sich stets auf einen bestimmten Zustand beschrieben durch die
WF ψ(r,t)
ψ(r,t) und φ(p,t) enthalten die gleichen (vollständigen) Informationen über den Zustand des
qmT/qm Systems und können als unterschiedliche Darstellungen der WF aufgefasst werden.
"Orts-Darstellung" der QM
"Impuls-Darstellung" der QM
WF: ψ(r,t)
WF: φ(p,t), FT von ψ(r,t)
Lösung der SG
Lösung der FT-SG1)
Ort
Ortsoperator: r̂ = r
Ortsoperator: r̂ = i h ∇ p 2)
Impuls
Impulsoperator: p̂ = −i h ∇
Observable
Drehimpuls
Q( p, r, t )
…
Q̂ = Q(r,−i h ∇)
1)
Übung: Schrödinger-Gleichung in Impulsdarstellung
2)
selbständig analog zur Vorgehensweise oben herleiten
Impulsoperator: p̂ = p
…
Q̂ = Q(p, i h ∇)
An dieser Stelle sei an die früher bereits verwendete kompakte Schreibweise der SG für die
Bewegung eines qmT in U(r,t)
∂ Ψ(r, t)
h2 2
( −i h ∇) 2
ih
= Ĥ Ψ ( r, t ) mit Ĥ = −
∇ + U ( r, t ) =
+ U ( r , t ) = H ( r ,−i h ∇, t )
∂t
2m
2m
erinnert. stationäre SG Ĥ ψ (r ) = E ψ (r ) ist die Eigenwertgleichung für den HamiltonOperator Ĥ . Die WF sind die Eigenfunktionen des Hamilton-Operators und die
Energieniveaus die dazugehörigen Eigenwerte.
10
Fazit: Ordne einer klassischen Observablen Q( p, r, t ) in der Quantenmechanik den Operator
Q̂ = Q(r,−i h ∇) zu und löse das Eigenwertproblem Q̂ ψ n = q n ψ n .
Wir werden sehen, dass die Eigenwerte qn die möglichen Messwerte der Observablen Q in
einem durch ψ n beschriebenen Zustand sind.
■
Impuls: p̂ = −i h ∇ , p̂ ψ (r ) = h k ψ(r ) mit EF ψ(r ) ~ ei k r
■
Energie: Ĥ ψ (r ) = E ψ (r )
■
analog L̂ , L̂ , L̂ z , T̂ usw.
2
11
•
Korrespondenz zwischen klassischer Mechanik (KM) und der Schrödinger´schen
Wellenmechanik (QM) im Lichte der Hamilton-Jacobi-Theorie
Bevor wir uns in der kommenden Woche der axiomatischen Formulierung der QM zuwenden,
diskutieren wir zum Abschluss der Kapitel zur Schrödinger´schen Wellenmechanik eine
Möglichkeit, die KM als Grenzfall der QM aufzufassen.
Dazu betrachten wir wieder die Bewegung eines Teilchens in einem Potentialfeld U(r, t ) , die
vollständig durch die Hamilton-Funktion H = p / 2 m + U( r , t ) gegeben ist. In der KM kann
2
die Bahnkurve des klassischen Teilchens aus der Hamilton-Jacobi-Gleichung (HJG)
−
∂S
1
= H ( r, ∇ S, t ) =
(∇ S) 2 + U(r, t )
∂t
2m
ermittelt werden. In der QM ist die Schrödinger-Gleichung (SG)
ih
∂Ψ
= Ĥ Ψ
∂t
Korrespond enz −
=
prinzip
H(r̂, p̂, t ) Ψ = −
h2 2
∇ Ψ + U(r, t ) Ψ
2m
( r̂ = r , p̂ = − ih ∇ )
für die Wellenfunktion zu lösen. Dazu machen wir den Lösungsansatz:
i
ψ(r, t ) = e h
S( r , t )
mit S(r, t ) = S0 (r, t ) + ih S1 (r, t ) + (ih ) 2 S2 (r, t ) + ...
Wenn wir uns auf den ersten und zweiten Term in der Reihenentwicklung nach Potenzen von
ih beschränken, ist
i
ψ(r, t ) = e h
(S 0 + ih S1 )
i
= eh
S 0 − S1
i
=: a (r, t ) e h
S0 ( r , t )
.
(H1)
Eingesetzt in die SG finden wir unter Verwendung von
12
∇Ψ ≅ e
i
S0
h
i


 ∇a + a ∇S0 
h


i
S0
h
2i
1
2i
 2

2
2
 ∇ a + h ∇a ⋅ ∇S0 − h 2 a (∇S0 ) + h a ∇ S0 


i
S0 
∂S 
∂Ψ
∂a
≅ e h  ih
− a 0 
ih
∂t
∂t 
 ∂t
∇ Ψ≅e
2
die Relation a
∂ S0
∂a
a
ih
ih
h2 2
2
− ih
+
(∇S0 ) 2 −
a ∇ S0 − ∇a ⋅ ∇S0 −
∇ a + U a = 0 . (H2)
∂t
∂ t 2m
2m
m
2m
*****
*******
ooooooooooooooooooo
***************
oooooooooo
ooooooooooooooooooo
Die Terme der Ordnung h 0 in (H2) ergeben (für a ≠ 0 )
∂S 0
1
+
(∇S0 ) 2 + U = 0 ,
∂ t 2m
d.h., die Phase der Wellenfunktion S0 genügt der HJG: Im Sinne eines ´Grenzübergangs´
h→0
QM → KM ist die HJG der klassische Grenzfall der SG.
Die Terme nächst höherer Ordnung ( h1 ) in (H2) ergeben
∂a
1
2
+
a ∇ S 0 + ∇a ⋅ ∇S0 = 0 .
∂ t 2m
Nach Multiplikation mit 2a ergibt sich daraus die Gleichung
∂ 2
 ∇S 
a + div  a 2 0  = 0 .
∂t
m 

(H3)
Zur Interpretation von (H3) ist es hilfreich, die AWD Ψ (r, t ) in der betrachteten Näherung
2
(H1) auszurechnen:
Ψ
2
i
= Ψ Ψ* = e h
S0 −S1
e
i
− S0 −S1
h
= e − 2S1 = a 2 .
Also handelt es sich bei (H3) um die Kontinuitätsgleichung für die AWD. Wir erkennen, dass
die durch die Wellenfunktion beschriebene Bewegung nicht in eine Bewegung entlang einer
bestimmten Bahnkurve übergeht. Stattdessen verschiebt sich die Wahrscheinlichkeitsdichte
Ψ (r, t ) im Laufe der Zeit in Übereinstimmung mit den Gesetzen der KM, denn
2
∇S0 p
=
m
m
ist ja die Geschwindigkeit des klassischen Teilchens.
13