Lösung Blatt 2 - Hausaufgaben October 26, 2011 Aufgabe 3: Impulsdarstellung und Unschärferelation Impulsdarstellung Die Impulsdarstellung der Wellenfunktion eines Teilchens im Gausszustand |Ψi, Ψ̃(p) = hp|Ψi, erhalten wir per Fouriertransformation aus der Ortswellenfunktion (siehe Fig. 1) Ψ(x) = hx|Ψi N |{z} = e− (x−x̄)2 4σ 2 +ik0 x . (1) (2πσ 2 )−1/4 Formal verwenden wir die Identität Iˆ = Ψ̃(p) ´∞ −∞ dx |xihx|, sowie hx|pi = ipx/~ e√ . 2π~ Damit erhalten wir hp|Ψi ˆ ∞ hp| dx|xihx| |Ψi −∞ | {z } = = N √ 2π~ = ˆ =Iˆ ∞ dx e− (x−x̄)2 4σ 2 p +i(k0 − ~ )x . (2) −∞ Das Gauss-Integral löst man durch quadratische Ergänzung. Es ergibt sich r Ψ̃(p) = N 2σ 2 i(k0 − p )x̄−σ2 (k0 − p )2 ~ ~ e . ~ 1 (3) 0.5 0.5 0.0 0.0 0.6 0.3 −0.5 −0.5 −5 0 5 −5 0.2 0.4 0.1 0.2 0.0 0.0 −5 0 −5 5 0 5 0 5 Figure 1: Plot des Gaussschen Wellenpackets in Orts- und Impulsraumdarstellung. Breite der Verteilung im Ortsraum Zunächst betrachten wir ∆x2 ≡ hΨ|x̂2 |Ψi − hΨ|x̂|Ψi2 . Wir erhalten ˆ ∆x2 ˆ dx |xihx|x̂2 |Ψi − hΨ| ∞ = hΨ| ˆ −∞ dx x2 |Ψ|2 (x) − ∞ ˆ −∞ ˆ dx |xihx|x̂|Ψi −∞ ∞ = 2 ∞ 2 dx x|Ψ|2 (x) −∞ ∞ (x−x̄)2 − 2σ2 = N2 dx x2 e −∞ ˆ ∞ − x̄2 x2 dx x2 e− 2σ2 −∞ ˆ ∞ 2 ∂ = −N 2 dx e−αx . ∂α −∞ = N2 (4) (5) In der letzten Zeile haben wir α ≡ 1/(2σ 2 ) eingeführt. Schliesslich folgt ∆x2 = −N 2 ∂α r π α = σ2 . (6) Breite der Verteilung im Impulsraum Die Breite im Impulsraum berechnet sich zu ˆ ∆p2 ˆ ∞ ∞ dp |pihp|p̂2 |Ψi − hΨ| = hΨ| −∞ dp |pihp|p̂|Ψi2 −∞ 2 = N2 2σ 2 ~ = −N 2 ˆ ∞ dp p2 e− −∞ 2σ 2 ∂ ~ ∂ α̃ ˆ 2σ 2 ~2 (p−~k0 )2 ∞ − ~2 k02 2 dp e−α̃p −∞ 2 = ~ . 4σ 2 (7) Damit gilt √ ∆x2 p ∆p2 = ~ . 2 (8) Demnach ist die Unschärfe im Gauss-Packet minimal (siehe Aufgabe 2). Aufgabe 4: Heisenbergsche Bewegungsgleichungen Die Dynamik, d.h., Impuls und Ort, eines Teilchens im Potential V (x̂) ist bestimmt durch die HeisenbergGleichung. Für den Impulsoperator gilt d p̂ dt = = = i [Ĥ, p̂] ~ i i − [p̂, V (x̂)] + [p̂2 , p̂] ~ ~ | {z } 0 ∂V (x) − . ∂x x=x̂ (9) Die letzte Zeile folgt aus der allgemeinen Relation [p̂, f (x̂)] = −i~f 0 (x̂). Der Ortsoperator erfüllt ferner d x̂ = dt = = i [Ĥ, x̂] ~ i p̂2 − [x̂, ] ~ 2m p̂ , m (10) wobei verwendet wurde, dass [x̂, f (p̂)] = i~f 0 (p̂). Für die mittlere Kraft, welche auf das Teilchen wirkt, gilt dann schliesslich (in Analogie zum klassischen Resultat) d hΨ(t)|p̂|Ψ(t)i = dt d Ψ p̂(t) Ψ dt 3 ∂V Ψ . = − Ψ ∂x x=x̂ 4 (11)