Lsg_Ha_2

Lösung Blatt 2 - Hausaufgaben
October 26, 2011
Aufgabe 3: Impulsdarstellung und Unschärferelation
Impulsdarstellung
Die Impulsdarstellung der Wellenfunktion eines Teilchens im Gausszustand |Ψi, Ψ̃(p) = hp|Ψi, erhalten
wir per Fouriertransformation aus der Ortswellenfunktion (siehe Fig. 1)
Ψ(x)
= hx|Ψi
N
|{z}
=
e−
(x−x̄)2
4σ 2
+ik0 x
.
(1)
(2πσ 2 )−1/4
Formal verwenden wir die Identität Iˆ =
Ψ̃(p)
´∞
−∞
dx |xihx|, sowie hx|pi =
ipx/~
e√
.
2π~
Damit erhalten wir
hp|Ψi
ˆ ∞
hp|
dx|xihx| |Ψi
−∞
|
{z
}
=
=
N
√
2π~
=
ˆ
=Iˆ
∞
dx e−
(x−x̄)2
4σ 2
p
+i(k0 − ~
)x
.
(2)
−∞
Das Gauss-Integral löst man durch quadratische Ergänzung. Es ergibt sich
r
Ψ̃(p)
=
N
2σ 2 i(k0 − p )x̄−σ2 (k0 − p )2
~
~
e
.
~
1
(3)
0.5
0.5
0.0
0.0
0.6
0.3
−0.5
−0.5
−5
0
5
−5
0.2
0.4
0.1
0.2
0.0
0.0
−5
0
−5
5
0
5
0
5
Figure 1: Plot des Gaussschen Wellenpackets in Orts- und Impulsraumdarstellung.
Breite der Verteilung im Ortsraum
Zunächst betrachten wir ∆x2 ≡ hΨ|x̂2 |Ψi − hΨ|x̂|Ψi2 . Wir erhalten
ˆ
∆x2
ˆ
dx |xihx|x̂2 |Ψi − hΨ|
∞
= hΨ|
ˆ
−∞
dx x2 |Ψ|2 (x) −
∞
ˆ
−∞
ˆ
dx |xihx|x̂|Ψi
−∞
∞
=
2
∞
2
dx x|Ψ|2 (x)
−∞
∞
(x−x̄)2
− 2σ2
= N2
dx x2 e
−∞
ˆ ∞
− x̄2
x2
dx x2 e− 2σ2
−∞
ˆ ∞
2
∂
= −N 2
dx e−αx .
∂α −∞
= N2
(4)
(5)
In der letzten Zeile haben wir α ≡ 1/(2σ 2 ) eingeführt. Schliesslich folgt
∆x2
= −N 2 ∂α
r
π
α
= σ2 .
(6)
Breite der Verteilung im Impulsraum
Die Breite im Impulsraum berechnet sich zu
ˆ
∆p2
ˆ
∞
∞
dp |pihp|p̂2 |Ψi − hΨ|
= hΨ|
−∞
dp |pihp|p̂|Ψi2
−∞
2
= N2
2σ 2
~
= −N 2
ˆ
∞
dp p2 e−
−∞
2σ 2 ∂
~ ∂ α̃
ˆ
2σ 2
~2
(p−~k0 )2
∞
− ~2 k02
2
dp e−α̃p
−∞
2
=
~
.
4σ 2
(7)
Damit gilt
√
∆x2
p
∆p2
=
~
.
2
(8)
Demnach ist die Unschärfe im Gauss-Packet minimal (siehe Aufgabe 2).
Aufgabe 4: Heisenbergsche Bewegungsgleichungen
Die Dynamik, d.h., Impuls und Ort, eines Teilchens im Potential V (x̂) ist bestimmt durch die HeisenbergGleichung. Für den Impulsoperator gilt
d
p̂
dt
=
=
=
i
[Ĥ, p̂]
~
i
i
− [p̂, V (x̂)] + [p̂2 , p̂]
~
~ | {z }
0
∂V (x) −
.
∂x x=x̂
(9)
Die letzte Zeile folgt aus der allgemeinen Relation [p̂, f (x̂)] = −i~f 0 (x̂).
Der Ortsoperator erfüllt ferner
d
x̂ =
dt
=
=
i
[Ĥ, x̂]
~
i
p̂2
− [x̂,
]
~
2m
p̂
,
m
(10)
wobei verwendet wurde, dass [x̂, f (p̂)] = i~f 0 (p̂).
Für die mittlere Kraft, welche auf das Teilchen wirkt, gilt dann schliesslich (in Analogie zum
klassischen Resultat)
d
hΨ(t)|p̂|Ψ(t)i =
dt
d
Ψ p̂(t) Ψ
dt
3
∂V Ψ .
= − Ψ
∂x x=x̂ 4
(11)