Analysis Prüfungsvorbereitung

Hannes Konrad
Martin Wolf
Stephan Bialek
— Theoretische Physik III - Quantenmechanik — 14.12.2007
Übung 7
1 Präsenzaufgabe P7: Diracschreibweise, Orts- und
Impulsraum
Betrachtet wird ein quantenmechanisches Teilchen in einer Dimension.
1.1 Teilaufgabe a)
|pi sei ein Eigenzustand zum Impulsoperator mit Eigenwert p. Was ist die Ortsraumdarstellung (ohne Normierung)?
Zu lösen ist folgende Eigenwertsgleichung:
pb |pi = p |pi
(1)
Durch Multiplikation von hp| von links an die obige Eigenwertgleichung und der Beziehung
ipx
∂
hx|pi = e ~ = Ψp (x) und dem Impulsoperator in Ortsdarstellung pb = −i~ ∂x
wird diese zur
Ortsraumdarstellung der Impulseigenwertgleichung:
− i~
∂
Ψp (x) = pΨp (x)
∂x
(2)
1.2 Teilaufgabe b)
hΨ| sei ein Zustand mit der Ortsraumwellenfunktion Ψ(x). Was ist die Fouriertransformierte
von Ψ(x) in Diracschreibweise?
Z
Z
e
|Ψi = dx |xi Ψ(x) = dp |pi Ψ(p)
(3)
1
R
ipx
Durch Einfügen einer „p-Eins“ durch 1 = dp |p ⊗ p| und der Beziehung hp|xi = e− ~
e
gelangt man zur Fouriertransformierten Ψ(p)
von Ψ(x):
Z
Z
|Ψi =
dp |p ⊗ p| dx |xi Ψ(x)
(4)
Z
Z
=
dp |pi dx hp|xi Ψ(x)
(5)
Z
Z
ipx
=
dp |pi dxe− ~ Ψ(x)
(6)
Z
e
=
dp |pi Ψ(p)
(7)
e
Die Fouriertransformierten Ψ(p)
in Diracschreibweise ist also:
Z
e
Ψ(p) = dx hp|xi Ψ(x)
(8)
1.3 Teilaufgabe c)
A sei ein selbstadjungierter Operator und |Ψ0 i = A |Ψi. Es soll gezeigt werden, dass die
Fouriertransformierte von Ψ0 (x) gegeben ist durch die Wirkung von A (dargestellt im Impulsraum) auf die Fouriertransformierte von Ψ(x).
Z
Z
0
0
e 0 (p)
(9)
|Ψ i =
dx |xi Ψ (x) = dp |pi Ψ
Z
Z
e
|Ψi =
dx |xi Ψ(x) = dp |pi Ψ(p)
(10)
e
Ψ(p)
= hp|Ψi
e0 (p) = hp|Ψ0 i
Ψ
= hp|A|Ψi
Z
=
dp0 hp|A|p0 ⊗ p0 |Ψi
Z
e 0)
dp0 hp|A|p0 i Ψ(p
=
2
(11)
(12)
(13)
(14)
(15)