11. April 2016

Prof. Dr. S. Dietrich
Dr. M. Bier ([email protected])
M.Sc. H. Bartsch
Dr. M. Gross
Dr. C. Rohwer
Theoretische Physik I: Klassische Mechanik
SoSe 2016
1. Übungsblatt (http://www.is.mpg.de/dietrich/lehre/TP1 16)
11. April 2016
1. Geschwindigkeit und Beschleunigung
Die Trajektorie, d.h. der Ort r als Funktion der Zeit t, eines Teilchens im dreidimensionalen Raum sei gegeben durch r(t) = R(αt, t cos(ωt), t sin(ωt)) ∈ R3 mit drei Konstanten
R, α, ω > 0.
(a) Skizzieren Sie die Bahn des Teilchens.
dr
d2 r
(b) Berechnen Sie die Geschwindigkeit v(t) = (t) und die Beschleunigung a(t) = 2 (t)
dt
dt
als Funktionen der Zeit t.
(c) Wie lang ist der Weg, den das Teilchen zwischen t = 0 und einem beliebigen späteren
Zeitpunkt t = T > 0 zurücklegt?
2. Trajektorien konstanter Beschleunigung
Von einem Teilchen im dreidimensionalen Raum sei bekannt, dass es sich zur Zeit t = 0
dr
am Ort r(t = 0) = r0 befinde und dort die Geschwindigkeit v(t = 0) =
(t = 0) = v0
dt
besitze. Ferner sei die Beschleunigung des Teilchens ein zeitlich konstanter Vektor: a(t) =
d2 r
(t) = g.
dt2
(a) Berechnen Sie die Trajektorie r(t) für alle Zeiten t ≥ 0 durch direkte zweimalige
Integration.
(b) Beschreiben Sie die Bahn des Teilchens.
3. Vektoranalysis
(a) a(t), b(t) ∈ R3 seien zwei zeitabhängige Vektoren im dreidimensionalen Raum. Drücken
d
da
db
d
a(t) · b(t) und
a(t) × b(t) durch a(t),
(t), b(t) und
(t) aus. InterSie
dt
dt
dt
dt
pretieren Sie die Resultate geometrisch.
(b) Beweisen Sie, dass der kürzeste Abstandsvektor zwischen einem Punkt und einer Geraden senkrecht auf der Geraden steht.
Fortsetzung auf Seite 2
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4. Determinismus und Chaos
Betrachten Sie den eindimensionalen Raum R mit diskreter Zeit t ∈ Z. Hierin befinde sich
ein Teilchen, dessen Position auf das halboffene Intervall x ∈ [0, 1) ⊂ R beschränkt sei und
dessen Trajektorie x(t) folgender Iterationsvorschrift genügt:
2x(t)
, 2x(t) < 1,
(1)
x(t + 1) =
2x(t) − 1 , 2x(t) ≥ 1.
(a) Warum ist die Bewegung des Teilchens deterministisch?
(b) Bekanntlich können Zahlen bzgl. verschiedener Basen b ∈ Z, b ≥ 2, mit der Ziffernmenge {0, . . . , b − 1} dargestellt werden. Die geläufigste Darstellung ist die zur Basis
10 (dekadische Darstellung) mit der Ziffernmenge {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, in der beispielsweise die Zahl 0.125 = 0 · 100 + 1 · 10−1 + 2 · 10−2 + 5 · 10−3 als 0.12510 gegeben
ist. Computer-Prozessoren arbeiten hingegen meistens mit der Basis 2 (binäre Darstellung) mit der Ziffernmenge {0, 1}, in der die Zahl 0.125 = 0·20 +0·2−1 +0·2−2 +1·2−3
die Darstellung 0.0012 besitzt.
Die Position des Teilchens zur Zeit t = 0 sei in binärer Darstellung gegeben durch
x(0) = (0.z1 z2 z3 · · ·)2 ∈ [0, 1). Wie ergibt sich daraus die Position x(t) zur Zeit t > 0
auf Grund der Iterationsvorschrift Gl. (1)?
(c) Schreiben Sie ein Computerprogramm, das nach Eingabe der Anfangsposition x(t =
0) ∈ [0, 1] und der Trajektorienlänge T ∈ N die Trajektorie für t ∈ {0, . . . , T } gemäß
der Iterationsvorschrift Gl. (1) berechnet und in eine Datei schreibt.
(d) Berechnen Sie mit Hilfe des Computerprogramms aus Aufgabenteil (c) die Trajektorien x(t) für zwei nahegelegene Anfangspositionen x(t = 0), z.B. 0.815 und 0.816,
und stellen Sie diese graphisch dar. Diskutieren Sie den Zeitpunkt, ab dem beide
Trajektorien deutlich voneinander abweichen, in Abhängigkeit von dem Abstand der
Anfangspositionen. Das beobachtete Phänomen, dass sich kleine Abweichungen der
Anfangspositionen mit der Zeit verstärken, wird als Chaos ( Sensitivität bzgl. der
”
Anfangsbedingungen“) bezeichnet.
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