Beschleuniger und Detektoren SS2007

Beschleuniger und Detektoren SS2007
http://iktp.tu-dresden.de/Lehre/beschleuniger
Übung 6 (02.07.2007)
Dr. Wolfgang F. Mader
1
Synchrotronstrahlung
Auf Grund fundamentaler Regeln der klassischen Elektrodynamik strahlt jede beschleunigte
Ladung Energie in Form von elektromagnetischen Wellen ab. Wie wir im folgenden sehen werden, spielt diese Strahlung vor allem bei Elektronen hinreichend hoher Energie eine wichtige
Rolle, während sie bei schwereren Teilchen wie Myonen oder Protonen derselben Energie
vernachlässigbar ist.
Für den Fall nicht-relativistischer Teilchen hat bereits Ende des 19.Jhdts Larmor die
totale abgestrahlte Leistung berechnet:
2 h̄αQED
Ps =
3 m 2 c2
µ
d~
p
dt
¶2
,
(1)
wobei m die Ruhemasse des beschleunigten Teilchens ist. Wie man sieht wird nur dann
Leistung abgestrahlt, wenn auf das Teilchen eine Kraft wirkt, also d~
p/dt 6= 0 ist.
In relativistisch invarianter Form lautet die Strahlungsgleichung
2 h̄αQED c2
Ps =
3 (mc2 )2
õ
d~
p
dτ
¶2
1
− 2
c
µ
dE
dτ
¶2 !
,
(2)
wobei dτ = 1/γdt die Eigenzeit ist. Im folgenden wollen wir die beiden Extremfälle untersuchen, nämlich, dass die Beschleunigung parallel, bzw. senkrecht zur Flugrichtung des
Teilchens erfolgt.
1.1
Linearbeschleuniger
Betrachten Sie zunächst den Fall, dass die beschleunigenden Kräfte parallel zur Flugrichtung
des Teilchens angreifen.
Geben Sie für diesen Fall die Strahlungsgleichung als Funktion von dE/dx, dem Energiegewinn pro Meter, an.
Berechnen Sie den Wirkungsgrad eines Linearbeschleunigers
η=
Ps
dE/dt
(3)
wenn Sie annehmen, dass bei der Beschleunigung ein Energiegewinn von dE/dx ∼
15 MeV/m erreicht wird.
1.2
Kreisbeschleuniger
Nehmen Sie nun an, dass sich das Teilchen in einem Speicherring bei konstanter Energie
befindet und mit Hilfe von Magneten auf einer Kreisbahn gehalten wird.
Wie lautet jetzt die Strahlungsgleichung als Funktion der Energie E des Teilchens und
dem Radius R des Speicherrings Ps = Ps (E, R)?
1
Vergleichen Sie die abgestrahlte Leistung von Elektronen relativ zu derjenigen von
Protonen gleicher Energie.
Betrachten Sie nun den LEP Ring, der bei einem Radius von 3056 m, Elektronen mit einer
Energie von ca. 100 GeV speichern konnte.
Welchen Radius hätte ein Myon-Beschleuniger, wenn pro Umlauf dieselbe Leistung
abgestrahlt würde wie im Fall von Elektronen?
In der nachfolgenden Tabelle finden Sie die Beschleunigungsspannungen, bzw. Beschleunigungsgradienten so wie sie im Jahr 2000 an den insgesamt vier Beschleunigungsstrecken (Point 2-8) bei LEP-II erreicht wurden. Zur Beschleunigung des
Elektron- bzw. Positronstrahls wurden dabei sowohl normalleitende Kupferkavitäten
(Cu), als auch supraleitende Niob basierte Kavitäten (Nb und Nb/Cu) eingesetzt.
Point 2
Point 4
Point 6
Point 8
Quelle
Beschleunigungsspannung / MV
Beschleunigungsgradient / (MV/m)
Beschleunigungsspannung / MV
Beschleunigungsgradient / (MV/m)
Beschleunigungsspannung / MV
Beschleunigungsgradient / (MV/m)
Beschleunigungsspannung / MV
Beschleunigungsgradient / (MV/m)
Cu
55
1.08
–
–
54
1.06
–
–
Nb
136
5.00
–
–
–
–
–
–
Nb/Cu
586
7.18
1005
7.39
765
7.03
1007
7.40
http://ab-div.web.cern.ch/ab-div/Conferences/Chamonix/chamx2k/PAPERS/7 5.pdf
http://ab-div.web.cern.ch/ab-div/Conferences/Chamonix/chamx2k/PAPERS/8 5.pdf
Welche maximale Strahlenergie konnte LEP-II erreichen, wenn pro Umlauf die
zugeführte Energie den Energieverlust durch Synchrotronstrahlung gerade kompensiert?
2
Das Betatron und die Wideröesche 1/2-Bedingung
In der letzten Vorlesung haben Sie das Zyklotron kennengelernt. Bei diesem Beschleunigertyp
wird das Teilchen, welches mit Hilfe eines hochfrequenten elektrischen Wechselfeldes beschleunigt wird, durch ein (fast) homogenes Magnetfeld auf eine Kreisbahn gezwungen. Der Radius
dieser Kreisbahn nimmt dabei mit der kinetischen Energie des Teilchens zu.
2
Das Betatron funktioniert nach einem leicht anderen Prinzip. Hierbei bewegt sich das
Teilchen unter dem Einfluss eines (fast) homogenen Führungsfeldes Bg auf einer Sollbahn.
Diesem homogenen Magnetfeld ist ein magnetisches Wechselfeld Ba = Ba (t) überlagert.
Dieses Wechselfeld führt nun zum einen dazu, dass gemäß dem Maxwellschen Induktionsgesetz
I
Z
d
~
~ A
~
Ed~r = −
Bd
(4)
dt A
ein dazu senkrechtes elektrisches Feld erzeugt wird welches das Teilchen beschleunigt. Zum
anderen dient das Wechselfeld dazu, das Teilchen bei der Beschleunigung auf seiner Sollbahn
zu halten.
Zeigen Sie, dass für die Existenz einer Sollbahn mit dem Radius r0 die folgende Bedingung erfüllt sein muss
1
B(t) = (Ba (t) − Ba (0)) + Bg ,
(5)
2
welche besagt, dass die mittlere magnetische Feldstärke des Wechselfeldes gleich der
Hälfte der Feldstärke des Führungsfeldes sein muss. Diese Bedingung bezeichnet man
als die Wideröesche 1/2-Bedingung.
Betrachten Sie nun ein Betatron mit den folgenden Spezifikationen:
– Bg = 0.56 T
– Sollbahnradius r = 0.095 m
– Wechselstromfrequenz νHF = 50 Hz
Schätzen Sie die maximale Energie für Elektronen welche mit diesem Betatron erreichbar ist.
3