Übung 2 - Chemie Unibas

Einführung in die Physikalische Chemie
Herbstsemester 2012
Übung 2: Einführung in die Quantenmechanik
(Übung 1 wird als Präsenzübung in den Übungsstunden vom Mo, 24.9., bzw. Mi, 26.9., veranstaltet)
Ausgabe:
Rückgabe:
Besprechung:
Do, 20.9., in der Vorlesung
Do, 27.9., in der Vorlesung
Mo, 1.10., (Bio) und Mi, 3.10., (Nano) in den Übungsstunden
1. Formulieren Sie den Hamiltonoperator Ĥ in kartesischen Koordinaten für:
a) ein Teilchen in einem 2D-Kasten,
b) das Wasserstoffatom,
c) das Heliumatom.
Nehmen Sie für die Teilaufgaben b) und c) an, dass der Atomkern im Koordinatenursprung fixiert ist.
2. 2D-Rotationsbewegung in der Quantenmechanik - das Teilchen auf dem Ring:
Der Hamiltonoperator für ein Teilchen, das sich auf einer Kreisbahn mit Radius R bewegt, lautet:
Ĥ = −
~2 ∂ 2
,
2 I ∂φ2
wobei I = mR2 das Trägheitsmoment, m die Masse des Teilchens und φ den Winkel in der Ringebene
bezeichnen. Das Potential wird als konstant und gleich Null angenommen.
a) Zeigen Sie, dass Ψ(φ) = N eimφ eine Eigenfunktion von Ĥ ist.
b) Die Randbedingung für die Bewegung auf dem Ring lautet Ψ(φ + 2π) = Ψ(φ). Zeigen Sie, dass diese
Randbedingung zu einer Quantisierung der Energieniveaus führt und leiten Sie einen Ausdruck für die
Energieniveaus her.
c) Normalisieren Sie die Wellenfunktion und zeigen Sie, dass die Wahrscheinlichkeitsdichte Ψ∗ Ψ konstant
ist.
d) Zeigen Sie, dass Ψ(φ) auch eine Eigenfunktion des Drehimpulsoperators
L̂z =
~ ∂
i ∂φ
ist. Wie lauten die Eigenwerte?
e) Warum besitzt das Teilchen auf dem Ring keine Nullpunktsenergie?
3. Zum Modell des Teilchens im (eindimensionalen) Kastenpotential:
a) Wie müssen Sie den Kasten verändern, damit die Quantelung aufgehoben wird, d.h. dass sich das
Teilchen „klassisch” verhält ?
b) Wie müssen Sie das Teilchen verändern, um den „klassischen Grenzfall” zu erreichen ?
c) Wie verändert sich das Spektrum der Energieniveaus auf dem Weg zum klassischen Grenzfall ?
4. Teilchen im 3D-Kasten: Zeigen Sie, dass die Wellenfunktion des Teilchens im 3D-Kasten, Gl. (1.6.2)
in den Vorlesungsunterlagen, eine Eigenfunktion des Hamiltonoperators Gl. (1.6.1) ist. Berechnen Sie die
zugehörigen Eigenwerte.