Uebungsblatt 10 - Institut für Mathematik

ÜBUNGSBLATT 10
MAT121/MAT131 ANALYSIS II FRÜHJAHRSSEMESTER 2011
PROF. DR. CAMILLO DE LELLIS
Montag 16.05.2011 bis 13 Uhr
Die Übungsblätter werden während der Montagsvorlesung
http://www.math.unizh.ch/fs11/mat121 publiziert.
auf
der
Homepage
Für eine Wertung sind mindestens die ersten beiden Aufgaben zu lösen. Generell soll der
Herleitungsweg von Resultaten übersichtlich und vollständig sein, und es wird gebeten, leserlich zu schreiben. Bitte geben Sie nur die Lösung der für Ihre Studienrichtung gedachten
Aufgabe 5 ab (Mathematik & andere: 5M, Physik: 5P).
Bitte die Lösungen bis spätestens 13h am Abgabetermin in den Fächern auf den Briefkästen
im K–Stock des Instituts für Mathematik, Bau 27, (MATH & andere), respektive in die
Box im K–Stock (linker Korridor) des Instituts für Theoretische Physik, Bau 36, (PHYS)
deponieren.
Aufgabe 1. Finden Sie für folgende Funktionen jene Punkte im Bildraum, in welchen
sie sich lokal umkehren lassen, und berechnen Sie dort die Differentiale ihrer Inversen.
(a) f : R2 → R2 ,
(x, y) 7→ ex , cos y ;
(b) g : R2 → R2 ,
(x, y) 7→ x2 + 2y, 2y 2 − x ;
(c) h : R3 → R3 ,
(x, y, z) 7→ x, −x + y 2, −x − y 2 + z 3 .
Aufgabe 2. Finde das Maximum der Funktion
f (x, y, z) = x
auf der durch die Gleichungen F (x, y, z) = G(x, y, z) = 0 definierten Kurve mit
F (x, y, z) = x2 + y 2 + z 2 − 1 und G(x, y, z) = x3 + y 3 + z 3 .
Aufgabe 3. Sei n ∈ N \ {0} und A eine (n × n)–Matrix. Zeigen Sie, dass kAk2op ein
Eigenwert der Matrix AT A ist.
Aufgabe 4. Sei (X, d) ein vollständiger metrischer Raum und k ∈ N \ {0}. Nehme an,
f : X → X sei eine Abbildung mit der Eigenschaft, dass
f ◦···◦f
| {z }
eine Kontraktion ist.
k mal
Beweisen Sie, dass f dann genau einen Fixpunkt besitzt.
Aufgabe 5M.
(a) Sei k ∈ N \ {0}, und nehme an, U ⊂ Rk sei sowohl offen als auch abgeschlossen.
Beweisen Sie, dass dann entweder U = ∅ oder U = Rk gilt;
(b) Sei k ∈ N \ {0} und u : Rk → Rk stetig differenzierbar mit kdukop ≤ L < 1.
Beweisen Sie, dass dann
Φ : Rk → Rk ,
ein Diffeomorphismus ist.
x 7→ x − u(x),
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ÜBUNGSBLATT 10 (MAT121/MAT131 ANALYSIS II)
Aufgabe 5P. Seien N ∈ N \ {0} und E > 0. Wir betrachten N Teilchen mit Gesamtenergie E. Sei ferner k ∈ N \ {0}, und nehme an, Ei > 0 (i ∈ {1, . . . , k}) bezeichnen die möglichen Energieniveaus der einzelnen Teilchen. Seien schliesslich ni ∈ N
(i ∈ {1, . . . , k}) die Besetzungszahlen dieser Energieniveaus. Es ist also ni die Anzahl
Teilchen mit Energie Ei , und es gilt
N=
N
X
ni
i=1
Betrachte nun
N!
=
P (n1 , E1 ; . . . ; nk , Ek ) =
n1 ! · · · nk !
und
E=
k
X
ni Ei .
i=1
N
N − n1
N − n1 − · · · − nk−2
···
.
n1
n2
nk−1
P (n1 , E1 ; . . . ; nk , Ek ) ist also die Wahrscheinlichkeit, dass n1 Teilchen am Energieniveau E1 sind, n2 am Energieniveau E2 , usw...
Finden Sie einen Ausdruck für die wahrscheinlichste Verteilung der Teilchen auf die
Energieniveaus unter der Approximations–Annahme, dass N ≫ 1 (also N sehr gross)
ist.