Ubungen zur Vorlesung “Theoretische Physik III (Quanten

Übungen zur Vorlesung “Theoretische Physik III (Quantenmechanik)”
WS 07/08 Blatt 8
Aufgabe 17: Translationsoperator im Magnetfeld (10 Punkte )
a) Der Hamiltonoperator für ein Teilchen der Masse m lautet:
Ĥ =
p~ˆ2
+ V (~rˆ) .
2m
Zeige, dass der Impuls nur dann eine (Vektor-) Erhaltungsgrösse ist,
wenn das Potential konstant ist.
(1 Punkt)
b) Der Hamiltonoperator für ein geladenes Teilchen im homogenen Ma~ 0 = rotA
~ lautet
gnetfeld B
2
~ˆ 2
1 ˆ
Π
ˆ
~
Ĥ =
~p − (q/c)A(~r) :=
.
2m
2m
Zeige Sie, dass weder der kanonische Impuls ~pˆ noch der “kinematische”
~ˆ eine (Vektor-) Erhaltungsgrösse ist, dafür aber P
~ˆ = p~ˆ +
Impuls Π
~ falls die Eichung divA
~ = 0 mit A
~ = (1/2)B
~ 0 × ~r gewählt ist.
(q/c)A,
ˆ
~ auch dann eine Erhaltungsgröße, wenn eine andere Eichung wie
Ist P
~ = (0, Bz x, 0) verwendet wird?
z.B. A
(5 Punkte)
~ = exp[−(i/~)ξ~ · P]
~ folgendes “Adc) Zeigen Sie, dass der Operator T (ξ)
ditionstheorem” erfüllt:
~ 0 ]T (ξ~1 + ξ~2 )
T (ξ~1 )T (ξ~2 ) = exp[(iq/(2~c))(ξ~1 × ξ~2 ) · B
Dabei ist die Eichung von Aufgabenteil b) vorausgesetzt. (4 Punkte)
Aufgabe 18: Das Landau Problem (12 Punkte)
Ein Teilchen mit Ladung q und Masse m bewege sich in einem homogenen
~ 0 = (0, 0, Bz ). Das elektrostatische Potential V (~r) verschwinde.
Magnetfeld B
~ =
a) Wie lautet der Hamiltonoperator des Teilchens für die Eichung A
(0, Bz x, 0)?
(1 Punkt)
b) Welche der Impulskomponenten px , py , pz sind erhalten?
1
(2 Punkte)
c) Bestimmen Sie die Eigenzustände und Eigenwerte des Hamiltonoperators mit Hilfe des Ansatzes
ψ(x, y, z) = ei(ky y+kz z) χ(x)
die Eigenzustände und Eigenwerte von H. Wie hoch ist der Entartungsgrad der Eigenwerte?
(5 Punkte)
d) Bestimmen Sie die Entartung der Energieeigenwerte für ein Teilchen in
einem Kubus der Kantenlänge L. Bestimmen Sie ausgehend von obigem
Ansatz zunaächst die erlaubten Werte der Wellenvektorkomponenten
ky und kz und bestimmen Sie daraus den Entartungsgrad als Funktion
der beiden Flüsse Φ = Bz L und Φ0 = hc/q.
(4 Punkte)
2