Beispiel 1: Teilchenzahlschwankung im groÿkanonischen Ensemble

TU München
Physik Department, T33
http://www.wsi.tum.de/T33 (Teaching)
Prof. Dr. Peter Vogl, Thomas Eissfeller, Peter Greck
Übung in Thermodynamik und Statistik 4B
Blatt 10
(Abgabe Di 17. Juli 2012)
Beispiel 1: Teilchenzahlschwankung im groÿkanonischen Ensemble
Zeigen Sie mit der Teilchenzahlschwankung im groÿkanonischen Ensemble
(∆N )2 = kB T
dass die isotherme Kompressibilität
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κT = −
V
∂V
∂P
∂N
∂µ
T,V
>0
N,T
positiv ist. Hilfe: Schreiben Sie dazu in der Beziehung
N dµ = V dP − SdT
das Dierenzial dP für P (T, V, N ) aus. Hieraus können Sie (∂N/∂µ)T,V ablesen. Verwenden Sie dann P =
P (T, V /N ) = P (T, v) um eine Beziehung zwischen (∂P/∂N )T,V und ∂P (T, v)/∂v herzuleiten.
Beispiel 2: Wärmekapazität für N Oszillatoren
Berechnen Sie die Wärmekapazität dfür N unabhängige hamronische Oszillatoren. Der zugehörige Hamiltonoperator
H=
N
X
mω 2 2
p~2
~x )
( n +
2m
2 n
n=1
beschreibt N unabhängige, unterscheidbare Teilchen. Sie mögen in Kontakt mit einem Wärmebad der Temperatur T stehen. Die Energie des Systems ist E(T, N ). Zeigen Sie durch Berechnung der Wärmekapazität
C(T, N ), dass für groÿe Temperaturen der Gleichverteilungssatz gilt. Hilfe: Aus den Einteilchenenergien können
Sie die kanonische Zustandssumme eines Teilchens z(T ) berechnen und daraus erhalten Sie sofort die kanonische
Zustandssumme des Systems. Daraus können Sie E(T, N ) und C(T, N ) berechnen.
Beispiel 3: Quantenzahlen im unendlichen Potenzialkasten
Der Hamiltonoperator eines Teilchens im unendlich hohen Kasten lautet
H=−
~2
∆ + U (~x),
2m
U (~x) = 0 für |~x| ∈ Kasten, U (~x) = ∞ sonst
Das kubische Volumen des Kastens sei V = L3 . Geben Sie die normierten Eigenfunktionen ψp~ (~x) an. Welche
Werte kann der Impuls p~ annehmen?
Beispiel 4: Zustandssummen für 3 Teilchen
Drei Teilchen benden sich in zwei Niveaus mit de Energien ε0 = 0 und ε1 = ε. Es handelt sich um (i) klassische,
unterscheidbare Teilchen, die der Maxwell-Boltzmannstatistik genügen, (ii) Bosonen mit Spin 0, (iii) Fermionen
mit Spin 1/2. Geben Sie die jeweiligen Zustandssummen an. Der Einfachheit halber setzen wir das chemische
Potential in allen Fällen Null.
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Beispiel 5: Bosegas im Oszillator
Das Kondensat eines idealen Bosegases im Harmonischen Oszillator besteht aus N0 Teilchen im Grundzustand.
Wenn ein Kondensat vorliegt, dann lautet die Teilchenzahlbedingung
Z
∞
Z
dnx
N = N0 +
0
∞
Z
dny
0
∞
dnz
0
1
.
exp[β~ω(nx + ny + nz )] − 1
Die Oszillatorenergien sind ε = ~ω(nx + ny + nz + 3/2). In den Ausdruck für mittlere Teilchenzahlen wurde
µ = 3~ω/2 eingesetzt; dies gilt, wenn einP
endlicher Bruchteil aller Teilchen im Grundzustand ist. Schreiben Sie
den Integranden als geometrische Reihe ∞
l=1 exp(−[...]l und führen Sie die Integration aus. Bestimmen Sie N0
als Funktion der Temperatur.
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