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PN 2 Einführung in die Experimentalphysik für Chemiker und Biologen 12. Vorlesung – 6.7.07 Nadja Regner, Thomas Schmierer, Gunnar Spieß, Peter Gilch Lehrstuhl für BioMolekulare Optik Department für Physik Ludwig-Maximilians-Universität München Erinnerung Auge als optisches Instrument Aufbau des Mikroskops und seine Grenzen Lupe verändert Sehwinkel „Mit Elektronen sehen“ www.orbitals.com Quantenmechanik Was ist klassische Physik? Newtonsche Mechanik Maxwellsche Elektrodynamik Was besagt die klassische Physik? Einsteins Relativitätstheorie Aus Kenntnis des Ortes des Impulses und der Kräfte zum Zeitpunkt t0 lässt sich die Trajektorie vorhersagen! Determinismus! Wo findet die klassische Physik ihre Grenzen? Beispiele cv = f (T ) Temperaturabhängigkeit der Wärmekapazität Schwarzer Strahler CCD-Chip Lichtelektrischer Effekt Spektren von Atomen Chemische Bindung Temperaturabhängigkeit der Wärmekapazität Erinnerung: Wird einem Körper die Wärmemenge Q zugeführt, dann ändert sich dessen Temperatur um ∆T. Die Proportionalitätskonstante dieser Änderung ist die Wärmekapazität (z.B. bei konstantem Volumen) cv . Da die Wärmekapazität eine extensive Größe ist (hängt von Stoffmenge ab), ist es sinnvoll sich auf die molare Wärmekapazität v zu beziehen (oder Wärmekapazität pro Molekül). c Experiment v von Pb, Al c cv eines einatomigen Festkörpers (klassisch): Klassische „Temperaturabhängigkeit“ cv Reales Verhalten cv T T Das reale Verhalten beruht auf Quanteneffekten, die durch Formeln von Einstein und Debye näherungsweise beschrieben werden. Quantenmechanisch ist zur Anregung einer Schwingung mindestens die Energie hν nötig. Diese Energie ist mit der thermischen Energie kT (RT bei 1 mol) zu vergleichen. kT kT Schwarzer Strahler Experiment Spektrum einer Glühlampe Ein schwarzer Strahler (auch Hohlraumstrahler), ist ein Körper mit der Temperatur T, der mit dem „umgebenden“ Strahlungsfeld im Gleichgewicht steht. Ein Glühbirne verhält sich gut genähert wie ein schwarzer Strahler. Beobachtungen: Dieses Verhalten wird vom Planckschen Strahlungsgesetz beschrieben. Es gibt verschiedene Formen dieses Gesetzes, hier angegeben Anzahl Photonen N, die pro Frequenzintervall dν, Oberfläche A des Körpers und Zeiteinheit ∆t emittiert werden. Bei dieser Art von Messung lautet das Plancksche Strahlungsgesetz: k Boltzmann-Konstante 2.0x10 Wiensches Verschiebungsgesetz: 11 1.5x10 11 1.0x10 11 -2 S(ν) [m ] 8000 K 5000 K 5.0x10 Stefan-Boltzmann-Gesetz: 10 3000 K 0.0 14 2.0x10 14 4.0x10 14 6.0x10 -1 Frequency ν [s ] 8.0x10 14 15 1.0x10 Experiment Lichtelektrischer Effekt Lichtelektrischer Effekt Ein Metall (häufig verwendet man Alkalimetalle) wird von Licht bestrahlt. Dabei können Elektronen aus dem Metall austreten, die im skizzierten Aufbau zu einem Stromfluss führen. 1. Bei fester Spannung U und Frequenz ν wird der Strom I in Abhängigkeit der Lichtintensität gemessen. Kalium Strom I Strom I Spannung U Intensität 2. Bei bestimmter Frequenz ν wird die Spannung U variiert bis der Strom I gleich null ist. Kalium Strom I Photon h ν Energie eU Spannung U Frequenz ν v EA Experiment Spektrallinien Hg-Lampe Linienspektren von Atomen Atome absorbieren und emittieren EM-Strahlung bei einer Vielzahl von wohl definierten Frequenzen νn. Dies ist im Rahmen der klassischen Physik nicht verständlich! • Elektron umkreist Proton „Klassisches H-Atom“ • Coulomb- und Zentrifugalkraft betragsgleich • Atom dadurch mechanisch stabil • Jeder Radius r möglich • Für jeden Radius r ergibt sich eine Kreisfrequenz ω + • Absorption und Emission mit dieser Frequenz Aber: Wegen Abstrahlung dürfte es keine stabilen Atome geben! Die Lösung Werner Heisenberg 1901-76 Erwin Schrödinger 1887-1961 Louis-Victor de Broglie 1892-1987 Paul Dirac 1902-1984 In den zwanziger Jahren des 20. Jahrhunderts wurden all diese Beobachtungen mittels der Quantenmechanik erklärt. Die Vorraussagen der Quantenmechanik haben sich bis heute stets experimentell bestätigt. An den Implikationen „kauen“ Wissenschaftstheoretiker bis heute. Stichwort: Schrödingers Katze (siehe Links) Was besagt die Quantenmechanik? Welle-Teilchen Dualismus Elektromagnetische Strahlung (z.B.) Licht hat ... Teilchen (z. B. Elektronen) haben ... 1. Wellen-Charakter 1. Teilchen-Charakter 2. Teilchen-Charakter Experiment Elektronen2. Wellen-Charakter beugung Beugung am Spalt mit C60-Molekülen M. Arndt et al. Nature 401 (1999) 680 Teilchen als Welle: Die de-Broglie-Wellenlänge Wenn Einstein das Licht zum Teilchen macht, mache ich das Teilchen zur Welle! Energie des Photons Impuls des Photons Zusammenhang Frequenz und Wellenlänge Herr de Broglie wendete die Formel schamlos für Teilchen an! Nicht-relativistischer Impuls (v << c): Wellenlänge eines Teilchens 200 km/h Elektron 1000 m/s Heisenbergsche Unschärfe-Relation ... ... ist eine direkte Folge der Wellennatur der Materie! In der klassischen Physik lässt sich die Bahn eines Teilchens vorhersagen, wenn man Ort und Impuls des Teilchens kennt. Die Unschärfe-Relation besagt, dass man diese Größen nicht gleichzeitig exakt bestimmen kann. Moleküle fliegen in z-Richtung, ihre Position in x-Richtung und die Impulskomponente px ist gesucht. pz Position in x-Richtung lässt sich mittels Spalt bestimmen Genauigkeit: Wegen Wellen-Charakter kommt es zu Beugung Durch Beugung erhält Teilchen Impulskomponente in x-Richtung. pz Impuls-Unschärfe ∆px mit Beugungswinkel verknüpft! h de-Broglie-Wellenlänge λ = p Genauere Betrachtung liefert die Heisenbergsche Unschärfe-Relation: h ∆x • ∆p x ≥ 2 Es gibt weitere Größen, für die solche Relationen gelten, z.B Energie – Zeit Komponenten des Drehimpulses Wellenfunktion Wie klassische Wellen werden auch quantenmechanische Wellen durch eine Wellenfunktion beschrieben. Für ein einzelnes Teilchen (ohne Spin) hängt diese Funktion vom Ort und der Zeit ab. ψ kann positiv, negativ oder komplex wertig sein. |ψ|2 dx gibt die Wahrscheinlichkeit das Teilchen im Intervall dx zu finden. Ψ 0 Normierung: 0 2 4 Position x 6 Schrödinger-Gleichung Wellen gehorchen partiellen Differentialgleichungen, den Wellengleichungen. Die Wellengleichung der (nicht-relativistischen) Quantenmechanik heißt Schrödinger-Gleichung. Zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung (stationäre Systeme) ˆ Hψ = Eψ Ĥ E Hamilton-Operator (enthält) „Rechnenvorschriften“ Energie-Eigenwert (Skalar) Zeitabhängige Schrödinger-Gleichung (veränderliche Systeme) h ∂ψ ˆ − = Hψ i ∂t Für H-Atom gilt: ˆ Hψ = Eψ 2 2 ˆ e p 0 − Hˆ = rˆ 2me 4πε 0 | r |
