¨Ubungsblatt 8

Übungen zur Theoretischen Physik II A - SS 2007
H. Kroha, A. Lubatsch
http://www.th.physik.uni-bonn.de/tp2 07
Übungsblatt 8
Abgabe am 8. Juni
Aufgabe 29:
–
Rückgabe am 15. Juni
Heisenbergdarstellung von Operatoren
Diese Aufgabe behandelt die Darstellung eines Operators im Heisenbergbild, im Gegensatz zum
bislang benutzten Schrödingerbild, an expliziten Beispielen.
Betrachten Sie ein Teilchen mit Masse m und Ladung e, das einem konstanten elektrischen Feld
ausgesetzt ist und beschrieben wird durch durch den Hamiltonoperator
H=
p2
− eEx.
2m
1.) Der Impulsoperator im Schrödingerbild p ist Ihnen wohl bekannt. Berechnen Sie nun
−i
i
den Impulsoperator im Heisenbergbild pH (t) := e ~ Ht p e ~ Ht , d.h. lösen Sie die Gleichung
dpH (t)
= ~i [H, pH (t)].
(2 P)
dt
2.) Berechnen Sie analog den Ortsoperator im Heisenbergbild xH (t).
Aufgabe 30:
(3 P)
Eigenschaften des Propagators – freies Teilchen
In der Vorlesung wurde der Propagator, auch als Übergangswahrscheinlichkeitsamplitude bezeichnet, diskutiert. Zum besseren Verständnis einiger seiner Eigenschaften, betrachten Sie
p2
zunächst ein freies Teilchen mit Masse m und Hamiltonoperator H = 2m
.
1.) Zeigen Sie, daß für den Zeitentwickelungsoperator gilt U (t2, t0 ) = U (t2 , t1 )U (t1 , t0 ), woH(t2 − t0 ) und t1 einen intermediären
bei wie in der Vorlesung gilt U (t2 , t0 ) = exp −i
~
Zeitpunkt beschriebt, d.h t0 < t1 < t2 . Erläutern Sie, weshalb diese Eigenschaft nicht nur
für freie Teilchen gilt, sondern ebenso für einen allgemeinen Hamiltonoperator der Form
p2
H = 2m
+ V (x) seine Gültigkeit bewahrt.
(2 P)
2.) Zeigen Sie, daß für den Propagator im Ortsraum U (x2 , t2 ; x0 , t0 ) = hx2 |U (t2 , t0 )|x0 i folgende Beziehung gilt
Z +∞
dx1 U (x2 , t2 ; x1 , t1 )U (x1 , t1 ; x0 , t0 )
U (x2 , t2 ; x0 , t0 ) =
−∞
und interpretieren Sie das Ergebnis. Erläutern Sie wiederum weshalb diese Eigenschaft
p2
auch für allgemeinen Hamiltonoperator H = 2m
+ V (x) gilt.
(3 P)
3.) Zeigen Sie, daß eine Reflektionsinvarianz gilt: U (x1 , t1 ; x0 , t0 ) = U (−x1 , t1 ; −x0 , t0 ). Hinweis: Benutzen Sie den Paritätsoperator P mit der Wirkung P |xi = | − xi.
(3 P)
4.) Zeigen Sie zuletzt, daß folgende Beziehung gilt
lim U (x1 , t1 ; x0 , t0 ) = δ(x1 − x0 ).
t0 →t1
Interpretieren Sie das Ergebnis und erläutern Sie, weshalb diese Eigenschaft nicht nur für
freie Teilchen gilt.
(2 P)
Aufgabe 31:
Eigenschaften des Propagators – Teilchen im konstanten Feld
Betrachten Sie ein Teilchen mit Masse m und Ladung e, das einem konstanten elektrischen Feld
ausgesetzt ist, und deshalb durch den Hamiltonoperator
H=
p2
+ V (x)
2m
mit
V (x) = −eEx
beschrieben wird.
1.) Betrachten Sie die Wahrscheinlichkeitsamplitude, daß das Teilchen, welches zur Zeit t =
t0 den Impuls p(t = t0 ) = p0 hatte, zu einer späteren Zeit t = t1 > t0 den Impuls
p(t = t1 ) = p1 habe. Zeigen Sie, daß diese Wahrscheinlichkeitsamplitude Null ist, außer
−i
−i
wenn gilt p1 = p0 + eEt. Hinweis: Beweisen Sie [p, e ~ H(t1 −t0 ) ] = e ~ H(t1 −t0 ) (pH (t) − p) und
−i
betrachten Sie den Erwartungswert hp1 |[p, e ~ H(t1 −t0 ) ]|p0 i, einmal mit Hilfe der bewiesenen
Relation zum anderen durch explizites Berechnen.
(4 P)
2.) Gilt für das geladene Teilchen im elektrischen Feld ebenfalls die Beziehung U (x1 , t1 ; x0 , t0 ) =
U (−x1 , t1 ; −x0 , t0 ) aus Aufgabe 30.3.)? Wenn nicht, welche Eigenschaft müßte das Potential V (x) des Hamiltonoperators besitzen, damit obige Beziehung dennoch gilt?
(4 P)
Aufgabe 32:
Virialsatz
Der bereits aus der klassischen Mechanik bekannte Virialsatz drückt auch in der Quantenmechanik eine allgemeine Beziehung zwischen dem Mittelwert (des Operators) der kinetischen
p2
i und dem Potential V aus, nämlich
Energie hT i = h 2m
1 dV (x)
i,
hT i = hx
2
dx
wobei die Mittelwerte in Energieeigenzuständen zu berechnen sind.
1.) Beweisen Sie den Virialsatz der Quantenmechanik. Hinweis: Betrachten Sie den Operator
d
xp, konkret, benutzen Sie dt
hxpi = ~i h[H, xp]i, indem Sie zum einen zeigen, daß dieser
Ausdruck Null ist, und andererseits den Kommutator explizit berechnen.
(4 P)
2.) Der Virialsatz kann Auskunft darüber geben, wie in einem Quantensystem die kinetische
und die potentielle Energie “aufgeteilt” sind. Zeigen Sie dies, indem Sie ein Potential der
annehmen, und finden Sie den Anteil der Gesamtenergie
Form V (x) = Kxn und n ∈
E, der in Form potentieller und kinetischer Energie vorliegt, d.h. zeigen Sie:
R
hV (x)i
2
=
E
n+2
hT i
n
=
.
E
n+2
Hinweis: Die (mittlere) Gesamtenergie E sei E = hT i + hV i.
(2 P)
3.) Betrachten Sie nun zwei Beispiele. Zum einen den harmonischen Oszillator (d.h. n = 2)
und zum anderen den unendlich tiefen Potentialtopf (d.h. n = ∞). Bestimmen Sie hV E(x)i
(3 P)
und hTEi und diskutieren Sie das Ergebnis.