Blatt 9 ҬUbungen zur Theoretische Physik II

WS 2016/2017
Universität Regensburg
Institut I - Theoretische Physik
Prof. Dr. Ferdinand Evers, Dr. Daniel Hernangómez
Lars Milz, Phillipp Reck, Matthias Stosiek
http://www.physik.uni-regensburg.de/forschung/evers/courses/qmech.phtml
Blatt 9
“Übungen zur Theoretische Physik II Quantenmechanik für LA und Nanoscience”
Diskussion: 21/22 December 2016
1 Spinresonanz eines freien Elektrons
(15 Punkte)
Von Blatt 8, Aufgabe 1 wissen wir, dass der Wechselwirkungs-Hamilton-Operator eines
freien Elektrons mit Spin S = 1/2 unter dem Einfluss eines externen Magnetfeldes gegeben
ist durch
Ĥ = −µ̂ · B,
[1]
wobei µ̂ der Operator des magnetischen Momentes des Elektrons ist, welcher defniert ist als
µ̂ := −µB σ. Hierbei ist µB das bohrsche Magneton und σ hat die Komponenten σx , σy , σz ,
die Pauli-Matrizen.
In dieser Aufgabe, gehen wir von einem Magnetfeld aus, das aufgeteilt werden kann in zwei
zueinander senkrechte und homogene Komponenten: ein konstantes Feld, Bz = Bz ẑ, welches
in Richtung der ẑ-Achse zeigt und ein zeitabhängiges Feld, B⊥ (t) = B⊥ [cos(ωt)x̂+sin(ωt)ŷ],
das in der x̂ − ŷ-Ebene rotiert.
a) Zeige, dass die zeitabhängige Schrödingergleichung die Form
d |ψ(t)i = ωz σz + ω⊥ e−iωt σ+ + eiωt σ− |ψ(t)i
dt
annimmt, wobei |ψ(t)i ein Vektor mit zwei Komponenten ist (Spinor ), σ± = (σx ±iσy )/2 sind
die Auf- und Absteigeopetoren des Spins, ωz und ω⊥ sind die charakteristischen Frequenzen
ωz = µB Bz /~ (Larmorfrequenz) und ω⊥ = µB B⊥ /~.
i
b) Beweise unter Benutzung des Ansatzes |ψ(t)i = u(t) |↑i + v(t) |↓i für die Lösung der
Schrödingergleichung, wobei |↑i (bzw. |↓i) der Eigenzustand von σz mit Eigenwert +1
(bzw. −1) ist, dass die Amplituden das folgende Differentialgleichungssystem erster Ordnung erfüllen
du(t)
i
= ωz u(t) + ω⊥ e−iωt v(t),
dt
dv(t)
= −ωz v(t) + ω⊥ eiωt u(t).
i
dt
c) Löse das System gekoppelter Gleichungen unter der Annahme, dass die Lösungen geschrieben
ω
ω
werden können als u(t) = Ae−i(Ω+ 2 )t und v(t) = Be−i(Ω− 2 )t . Finde die zwei möglichen
p
2
und die korrespondierenden Amplituden, A± , B± .
Lösungen, Ω = ± (ωz − ω/2)2 + ω⊥
d) Nehme an, dass der Spin des Elektrons zur Zeit t = 0 in die ẑ-Richtung zeigt, d.h. |ψ(0)i =
|↑i. Schreibe den Zustand |ψ(t)i auf und zeige, dass die Wahrscheinlichkeit eines Spin-Flips
zur Zeit t > 0 folgende Gleichung erfüllt:
ω 2
⊥
P (|↑i → |↓i)(t) =
sin2 (Ωt).
Ω
e) Rechne die über eine Periode zeitlich gemittelte Wahrscheinlichkeit eines Spin-Flips aus
Aufgabe d) aus. Zeige, dass die zeitgemittelte Spin-Flip Wahrscheinlichkeit P̄ unter kontinuierlicher Änderung der Frequenz des zeitabhängigen Magnetfeldes B⊥ (t), eine Resonanz
durchläuft (bei welcher die Wahrscheinlichkeit eines Spin-Flips maximal wird). Finde die
Resonanzfrequenz, die Wahrscheinlichkeit an der Resonanz P̄res und die Breite der Resonanz.
Diskutiere die Ergebnisse.
Tipp: Eine zeitgemittelte Funktion f (t) in einem Zeitintervall [0, τ ] ist definiert als
Z
1 τ
¯
f (t)dt
f=
τ 0
f ) Nehme nun den Fall ω → 0 und ω⊥ ωz an. Finde die Wahrscheinlichkeit eines Spin-Flips
unter Benutzung der Störungestheorie in führender Ordnung in B⊥ . Diskutiere das Ergebnis
und vergleiche es mit der exakten Lösung aus Aufgabe e).
Anmerkung: Die physikalische Prinzipien, die in dieser Übung präsentiert werden, sind
die Grundlage der Elektronenspinresonanz (ESR), eine Methode, mit welcher Materialien
mit ungepaarten Elektronen studiert werden können. Sie sind auch die Grundlage für die
Kernspinresonanz (NMR), bei welcher die resonante Absorption von Strahlung durch den
Kernspin statt des Elektronenspins genutzt wird. NMR-Spektoskropie wird häufig zur Untersuchung von Molekülen, Kristallen and anderen nicht-kristallinen Materialien genutzt.
Desweiteren ist die NMR essenziell für moderne medizinische Bildgebungsverfahren, wie die
Magnetresonanztomographie (MRT).
2 Zwei wechselwirkende Spin 1/2 Teilchen
(15 Punkte)
Betrachte zwei Teilchen mit Spin S = 1/2, welche miteinander wechselwirken über eine
Austauschwechselwirkung, die durch den folgenden Hamiltonoperator modelliert wird
Ĥex = J Ŝ1 · Ŝ2 ,
wobei Ŝα,i = σα,i /2 die Spinoperatoren sind (hier α ∈ {1, 2} und i ∈ {x, y, z}).
a) Schreibe den Hamiltonoperator in Abhängigkeit der Operatoren (Ŝ1 + Ŝ2 )2 , Ŝ21 und Ŝ22 um.
Finde die Eigenenergien und Eigenzustände.
Tipp: Nutze die Basis {|S, MS ; S1 , S2 i ≡ |S, MS i}, wobei S(S + 1) die Eigenwerte des
Spinoperators Ŝ2 = (Ŝ1 + Ŝ2 )2 sind und MS der Eigenwerte des Operators Ŝz = Ŝ1,z + Ŝ2,z
sind.
b) Nehme nun an, dass die zwei Teilchen zusätzlich an ein externes homogenes Magnetfeld B
gekoppelt sind. Den Hamiltonoperator, welcher diese (Zeeman) Wechselwirkung modelliert
haben wir bereits ausführlich in Aufgabe 1 untersucht:
ĤZ = −(µ̂1 + µ̂2 ) · B
wobei µ̂i = gµB Ŝi .
Schreibe die Matrixdarstellung des Hamiltonoperators Ĥ = Ĥex + ĤZ in der Basis {|S, MS i}
auf und diskutiere ihre Struktur. Was sind die Eigenwerte und Eigenvektoren, wenn B = Bẑ
gilt?
c) Betrache nun zwei Teilchen, die an ein zusätzliches Magnetfeld gekoppelt sind, welches
unterschiedlich auf beide Spins wirkt. Hiermit werden zwei Spins modelliert, die sich an
verschiedenen Orten in Anwesenheit eines Magnetfeldgradienten befinden. Diese Situation
kann mit folgendem Hamiltonoperator beschrieben werden:
ĤZ0 = −(µ̂1 − µ̂2 ) · B0 .
Schreibe die Matrixdarstellung des Hamiltonoperators Ĥ = Ĥex + ĤZ + ĤZ0 in der Basis {|S, MS i} und diskutiere ihre Struktur. Was sind die Eigenwerte und Eigenvektoren,
wenn B = Bẑ und B0 = B 0 ẑ? Diskutiere deine Ergebnisse: Rotationssymmetriebrechung,
Auswahlregeln etc.
d) Unter Benutzung der Ergebnisse aus c), betrachte den Spezialfall B = B 0 . Wie entwickeln
sich die Eigenenergien als Funktion des dimensionslosen Parameters gµB B/J? Zeichne sie
und diskutiere das Ergebnis.
e) Abschließend betrachte den Fall |B0 | |B|. Berechne die Eigenenergien unter Benutzung
der Störungstheorie in erster Ordnung von ĤZ0 , wenn das Magnetfeld in ẑ-Richtung zeigt,
B = Bẑ und B0 = B 0 ẑ gilt. Vergleiche die genäherten Lösungen mit den exakten Ergebnissen
aus Teil c).