1.3 Transformation der Geschwindigkeit, 1.4 Vierervektoren
Werbung
[Griffiths 12.1.3, 12.2.1]
1.3
Transformation der Geschwindigkeit
Seien S und S 0 Inertialsysteme. S 0 bewege
sich gegenüber S mit der Geschwindigkeit V~ =
p
V ~e1 . Es sei wieder β = V /c, γ = 1/ 1 − β 2 . Für ein Ereignis lautet der Zusammenhang
zwischen den Koordinaten
ct
γ(ct0 + βx10 )
x1 γ(x10 + βct0 )
2 =
(∗)
x
x20
x3
x30
Betrachte ein Punktteilchen mit Bahnkurve ~x(t). Gesucht ist der Zusammenhang zwischen
den Geschwindigkeiten ~v und ~v 0 eines Teilchens bzgl. S und S 0 . Betrachte dazu die beiden
infinitesimal benachbarten Ereignisse a und b:
Es gilt
dxi = v i dt
und entsprechend für die gestrichenen Koordinaten. Mit (∗) erhält man
cdt = γ(c + βv 10 )dt0
dx1 = γ(v 10 + βc)dt0
dxi = dxi0
(i = 2, 3)
Daraus ergibt sich das Transformationsgesetzt für die Geschwindigkeiten
v1 =
v
i
v 10 + V
1 + V v 10 /c2
v i0
=
1 + V v 10 /c2
r
1−
1
V2
c2
(i = 2, 3)
Dies ist offensichtlich kein sehr schönes Transformationsverhalten.
Spezialfälle
1. Nichtrelativistischer Grenzfall Für den Fall dass sowohl |~v 0 | als auch V sehr
viel kleiner als c erhhält man
~v = ~v 0 + V~
(|~v 0 |, V c)
d.h. die Geschwindigkeiten werden einfach addiert.
2. ~v = v~e1 . Dann ist
v=
v0 + V
1 + V v 0 /c2
Wenn sich das Teilchen mit Lichtgeschwindigkeit bewegt, v 0 = c wird daraus
v=
c+V
=c
1 + V /c
wie es sein muss.
1.4
Vierer-Skalare, Vierer-Vektoren
Größen, die invariant unter Lorentz-Transformationen sind, bezeichnet man als ViererSkalare (4-Skalare) .
Ein wichtiges Beispiel hatten wir schon gesehen: das Abstandsquadrat s2ab zweier Ereignisse.
Ein wichter Spezialfall dieses Beispiels ist die Eigenzeit eines Teilchens mit Bahnkurve
~x(t). Zu einem gegebenen Zeitpunkt t gibt es ein Inertialsystem, in dem das Teilchen zu
diesem Zeitpunkt ruht. Die Eigenzeit dτ ist defniert als das Zeitintervall zwischen den
Ereignissen a und b bzgl. dieses Systems.
2
Für Das Abstandsquadrat gilt
ds2 = −(cdτ )2
ds2 ist Lorentz-invariant ⇒
1
dτ = 2 (c2 dt2 − d~x2 ) =
c
2
~v 2
1 − 2 dt2
c
d.h.
r
dτ =
1−
~v 2
dt
c2
Interpretation der Eigenzeit: dτ ist das Zeitintervall zwischen den Ereignissen a und b, das
das Teilchen auf seiner Armbanduhr abliest (von einem Teilchen sollte man hier vielleicht
besser von einem Beobachter sprechen, der in hinreichend guter Näherung als punktförmig
angenommen werden kann ;-). Liegt eine endliche (nicht infinitesimale) Zeit zwischen a
und b, zeigt die Uhr das Zeitinvervall
Ztb r
~v 2
1 − 2 dt
τab =
c
ta
an.
Allgemein kann man den Begriff des 4-Skalars als Verallgemeinerung des 3-Skalars auffassen, also einer Größe, die sich bei Drehungen nicht ändert. Entsprechend kann man auch
den Begriff des 3-Vektors, der durch sein Transformation unter Drehungen definiert ist auf
Lorentz-Transformationen verallgemeinern. Für ein Ereignis zum Zeitpunkt t definiere
x0 := ct
Dann lassen sich die Raum-Zeit-Koordinaten schreiben als
0
x
x1
x :=
x2
x3
Die Komponenten dieses Objekts schreibt man auch mit griechischem Index, xµ wobei µ ∈
{0, 1, 2, 3} (lateinische Indizes laufen weiterhin von 1 bis 3). Eine Lorentz-Transformation
kann man jetzt schreiben als
x0 = Λx
bzw. in Komponenten
xµ0 = Λµ ν xν
Dabei sind Λµ ν die Elemente der Matrix Λ, und es gilt die Einsteinsche Summenkonvention, d.h. über doppelt auftretende Indizes wird summiert.
3
Vierkomponentige Größen
A0
A1
A :=
A2
A3
die sich bei einer Lorentz-Transformation verhalten wie x, d.h.
Aµ0 = Λµ ν Aν
bezeichnet man als Vierervektor (4-Vektor). Man schreibt A auch in der Form
0 A
A :=
~
A
~ transformiert wie ein 3-Vektor.
Unter räumlichen Drehungen ist A0 invariant, und A
Bsp: 4-Geschwindigkeit
dxµ
dτ
µ
eines Teilchens mit Bahnkurve ~x(t). dx ist ein 4-Vektor, und die Eigenzeit dτ ist ein
Skalar. Also ist u ein 4-Vektor. Es gilt
uµ :=
u0 = p
~u = p
c
1 − ~v 2 /c2
~v
1 − ~v 2 /c2
Das Transformationsverhalten ist sehr viel schöner als das von ~v :
uµ0 = Λµ ν uν
Das Quadrat eines 4-Vektors
~2
A2 := (A0 )2 − A
ist ein 4-Skalar.
Bsp: Für das Quadrat der 4-Geschwindigkeit gilt u2 = c2 .
Um so ein Quadrat schöner schreiben zu können, definiert man Objekte mit unteren
Indizes als
A0 := A0 ,
Am := −Am (m = 1, 2, 3)
Damit ist nämlich
A2 = Aµ Aµ
4
Eine Verallgemeinerung ist das Skalarprodukt zweier 4-Vektoren A und B,
A · B := Aµ B µ = Aµ Bµ
Bsp: Der 4-Impuls p eines Teilchens mit Masse m wird definiert als
p := mu
Es ist dann
p2 = m2 c2
(∗)
p
Für kleine Geschwindigkeiten |~v | c ist 1 − ~v 2 /c2 ' 1. Die räumlichen Komponenten
sind dann
p~ ' m~v
(|~v | c)
also gleich dem nichtrelativistischen Impuls. Für die 0-Komponente entwickeln wir die
Wurzel bis zur Ordnung ~v 2 /c2 ,
1 ~v 2
1
p
'1+
2 c2
1 − ~v 2 /c2
(|~v | c)
Damit ist
m~v 2
(|~v | c)
2
Der zweite Term ist die nichtrelativistische kinetische Energie. Der erste Term verschwindet nicht für ~v → 0 und ist die berühmte Ruheenergie mc2 . Wir können also cp0 mit der
Energie E des Teilchens identifizieren. Der 4-Impuls ist lässt sich dann auch schreiben als
cp0 ' mc2 +
p=
E/c
p~
Mittels (∗) kann man auch die Energie durch p~ ausdrücken,
E=
p
m2 c4 + p~ 2 c2
11. April 2014
5
