6. Übungsblatt zur Vorlesung Quantenmechanik, SS 2015

6. Übungsblatt zur Vorlesung Quantenmechanik, SS 2015
Aufgabe 23: Zeitentwicklung des Gaußschen Wellenpakets (8 Punkte)
Wir betrachten ein spinloses Teilchen der Masse m, das sich in 1 Dimension bewegen kann.
a) Lösen Sie die eindimensionale freie Schrödingergleichung im Impulsraum
~2 2
= 2m
k ψ̃(k, t)) mit der Anfangsbedingung
(i~ ∂ ψ̃(k,t)
∂t
ψ̃(k, t = 0) =
σ02
π
14
exp(−
σ02
(k − k0 )2 ) .
2
~ 2
Hinweis: Das Ergebnis lautet ψ̃(k, t) = exp(−i 2m
k t) ψ̃(k, t = 0).
Die Transformation in den Ortsraum mit Hilfe des allgemeinen Gaußschen Integrals
ergibt nach längerer Rechnung (nicht durchzuführen)
ψ(x, t) =
1
(πσ(t)2 )
~t 2
mit σ(t)2 = σ02 (1 + ( mσ
2 ) ) und φ =
0
1
4
e
−
~k0
~k
(x− m0 t)2
2σ(t)2
2
~t (x− m t)
( σ(t)2
mσ02
φ
ei 2 ,
~t
− k02 σ02 ) − arctan mσ
2 + 2k0 x.
0
2
b) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeitsdichten ρ̃(k, t) = |ψ̃(k, t)| und ρ(x, t) = |ψ(x, t)|2 .
Sind hier beide zeitabhängig?
c) Berechnen Sie den Erwartungswert hx̂i des Ortsoperators und daraus die Geschwindigkeit v = dhx̂i
. Vergleichen Sie mit der Gruppengeschwindigkeit vg = dω
.
dt
dk
d) Berechnen Sie hp̂i (im Impulsraum) und verifizieren Sie die Gültigkeit der klassischen
Hamiltonschen Bewegungsgleichungen für die Erwartungswerte: m dhx̂i
= hp̂i, dhp̂i
=
dt
dt
dV (x̂)
−h dx̂ i.
e) Berechnen Sie die Unschärfe ∆x(t)∆p(t).
f) Berechnen Sie die Breite ∆x(t) des Gaußschen Paketes. Bestimmen Sie für
(i) den offiziellen WM-Ball 2014 Brazuca mit m = 0.44kg und σ0 = 22cm
(ii) ein Bakterium (Wasserwürfel mit Seitenlänge 1µm und σ0 = 10−8 m)
(iii) ein Elektron mit σ0 = 10−10 m,
nach welcher Zeit sich ∆x verdoppelt hat und wie groß ∆x nach 1 Sekunde ist.
Hinweise: In Aufgabe c) und d) können Sie die Ergebnisse im Wesentlichen schon aus der
Form der x- bzw. p-Abhängigkeit von ψ ablesen! Die Wellenfunktion ψ(x, t) ist auf Eins normiert. Die Ergebnisse aus Aufgabe 21 können für den Aufgabenteil e) herangezogen werden.
Aufgabe 24 : Schrödingergleichung im Impulsraum
(4 Punkte)
Wir betrachten wieder ein Teilchen der Masse m in einem Potential V (x). Wie lautet die
Schrödingergleichung im Impulsraum, d.h. als Gleichung für ψ̃(k, t) ≡ hk|ψ(t)i ?
Hinweise: Ein möglicher Lösungsweg ist die direkte Fouriertransformation der Schrödingergleichung für ψ(x, t). Eine andere Mröglichkeit ist, die Schrödingergleichung für den Vektor
|ψ(t)i im Impulsraum auszuwerten. Sie benötigen den in der Vorlesung angegebenen (inversen) Faltungssatz.
Für ein freies Teilchen (V = 0) erhält man
i~
~2 2
dψ̃(k, t)
=
k ψ̃(k, t) .
dt
2m
Aufgabe 25: Paritätsoperator (6 Punkte)
Der Parittsoperator Ŝ ist durch Ŝ ψ(~x) = ψ(−~x) definiert, äquivalent zu h~x|Ŝ = h−~x|. Im
Folgenden rechnen wir nur in 1 Dimension. Die Aufgaben lassen sich am Einfachsten in Braund Ket-Notation lösen, ohne Wellenfunktionen. Zeigen Sie:
(a) Ŝ ist hermitesch. Anleitung: Matrixelemente mit Basisvektoren |xi,|yi.
Es folgt, dass Ŝ |xi = | − xi.
(b) hp| Ŝ = h−p|. Anleitung: Einschieben einer Eins und Substitution x0 = −x.
(c) Ŝ Q̂ = −Q̂Ŝ und Ŝ P̂ = −P̂ Ŝ. Anleitung: Spektraldarstellung, Substitution x0 = −x.
(d) Ŝ V̂ = V̂ Ŝ für ein symmetrisches Potential V̂ mit V (x) = V (−x). Anleitung: wie (c).
Aus (c) und (d) folgt, dass Ŝ mit Ĥ vertauscht, wenn das Potential symmetrisch ist.
(e) Wenn |ψs i Eigenzustand des Paritätsoperators ist, also Ŝ |ψs i = s|ψs i, mit s = ±1,
dann verschwinden die Erwartungswerte des Orts- und des Impulsoperators, d.h. es
gilt hψs |Q̂|ψs i = 0 und hψs |P̂ |ψs i = 0 .