5. Übungsblatt zur Vorlesung Quantenmechanik, SS 2017

5. Übungsblatt zur Vorlesung Quantenmechanik, SS 2017
Aufgabe 13: Selbstadjungierter Operator
Im Laufe der Vorlesung werden wir noch folgenden Operator kennenlernen (Radialanteil der
Ortsraumdarstellung des Impulsoperators):
~ ∂
1
+
.
(1)
pr =
i ∂r r
Ohne auf die Herleitung dieser Darstellung des Impulsoperators einzugehen, soll in diesem
Beispiel gezeigt werden, dass dieser Operator hermitesch ist.
∗
In der Vorlesung ist der selbstadjungierte Operator durch hψ|Â|φi = hφ|Â|ψi definiert.
Die abstrakte Definition des Matrixelements hψ|Â|φi muss nun explizit für den Fall von
quadratintegrablen Funktionen ψ(~r) und φ(~r) spezifiziert werden. Diese lautet
Z
hψ|Â|φi = ψ ∗ (~r)Â(~r)φ(~r) d3 r
(2)
Verwenden Sie nun obige Definition des Skalarproduktes um die Selbstadjungiertheit von pr
zu zeigen. Arbeiten Sie in Kugelkoordinaten und nutzen Sie die Tatsache aus, dass pr nur
auf r wirkt. An einem Punkt muss ein Integral durch partielles Integrieren gelöst werden.
Begründen Sie, warum die Randterme bei diesem partiellen Integral verschwinden.
Aufgabe 14: Kommutatoren von Funktionen des Impulsoperators
a) Berechnen Sie den Kommutator [Q̂, P̂ ν ] für beliebiges aber festes ν. Benutzen Sie die
Vertauschungsrelation [Q̂, P̂ ] = i~, um den Operator Q̂ ganz nach rechts zu schieben.
P
b) Gegeben sei eine nun Funktion f (p), für die eine Reihenentwicklung f (P̂ ) = ν aν P̂ ν
existieren soll. Zeigen Sie unter Benützung von a), dass folgende Beziehung folgt:
∂f (P̂ )
∂f (p) [Q̂, f (P̂ )] = i~
= i~
(3)
∂p p=P̂
∂ P̂
c) Gegeben sei nun eine analytische Funktion von Ort und Impuls, g(P̂ , Q̂) =
Zeigen Sie mit Hilfe von Aufgabenteil b), dass dann
[Q̂, g(P̂ , Q̂)] = i~
gilt.
∂g(P̂ , Q̂)
∂ P̂
P
νµ
aνµ P̂ ν Q̂µ .
(4)
Aufgabe 15: Zeitentwicklung und wiederholte Messungen
Der Hamiltonoperator Ĥ sei zeitunabhängig und habe Eigenvektoren {|νi} mit nicht entarteten Eigenwerten Eν . Die Observable  habe Eigenvektoren {|mi} mit nicht entarteten
Eigenwerten am .
a) Geben Sie die Spektraldarstellungen von Ĥ und  sowie diejenige des Zeitentwicklungsoperators Û (t, t0 ) an.
b) Zunächst sei das betrachtete System im Zustand |νi. Zum Zeitpunkt t0 wird  gemessen. Bestimmen Sie den Erwartungswert von  und die Wahrscheinlichkeit, den Wert
am zu messen.
c) Bei der ersten Messung habe sich am ergeben, und das System befindet sich damit
nach dem von-Neumann’schen Messpostulat im Zustand |mi. Berechnen Sie mit Hilfe
des Zeitentwicklungsoperators Û (t, t0 ) den Zustand für alle späteren Zeiten.
d) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, bei einer weiteren Messung zu einem späteren
Zeitpunkt t wieder den Wert am zu finden.
Aufgabe 16: Schrödingergleichung im Impulsraum
Wir betrachten ein Teilchen der Masse m in einem Potential V (x). Bestimmen Sie die Schrödingergleichung im Impulsraum, d.h. als Zeitentwicklungsgleichung für ψ̃(k, t) ≡ hk|ψ(t)i ?
Werten Sie dazu die Schrödingergleichung für den Vektor |ψ(t)i im Impulsraum aus. Sie
benötigen den in der Vorlesung angegebenen (inversen) Faltungssatz. Für ein freies Teilchen
(V = 0) erhält man
dψ̃(k, t)
~2 k 2
i~
=
ψ̃(k, t).
dt
2m