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Sommersemester 2004
14. Mai 2004
Übungen zur Theoretischen Physik III: Quantenmechanik
3. Folge
6. Mittelwerte und Energiesatz:
Epot =
Z
Es sei
d3 x |ψ(t, x)|2 U (x) ,
wo U (x) eine klassische potentielle Energie (für ein Teilchen) ist, die nicht von der Zeit
abhängt. Unter Verwendung der Schrödinger-Gleichung berechnen Sie d Epot /dt und zeigen
Sie, dass
d
Epot + Tkin = 0 .
dt
7. Operator des Impulses in einer Raumdimension: Der Einfachheit halber betrachten wir den Operator p = (~/i)(d/dx) in nur einer Dimension. Dieser Operator ist
selbstadjungiert, wenn man durch partielle Integration zeigen kann, dass
Z
d3 x ψ1∗ p ψ2 =
Z
∗
d 3 x p ψ1 ψ 2
(1)
für hinreichend viele quadratintegrierbare Funktionen ψk ∈ L2 (R) gilt. Formal ist dies
sicher richtig. Dass man aber doch genauer hinsehen muss, sollen die folgenden Rechnungen
zeigen.
7.1 Es werden quadratintegrable Funktionen f betrachtet, die auf dem Intervall [0, 1] der
reellen Achse absolut stetig sind und deren Ableitung f 0 ebenfalls quadratintegrabel ist,
in Symbolen
f ∈ L2 ([0, 1]) f absolut stetig , f 0 ∈ L2 ([0, 1]) .
[Absolut stetig heiÿt: f ist auf [0, 1] absolut stetig, wenn es auf diesem Intervall eine integrierbare Funktion
g
gibt derart, dass
f (x) =
x
Z
0
dt g(t) + f (0) .
Eine solche Funktion ist fast überall sowohl stetig als auch dierenzierbar. Sie kann somit beim partiellen
Integrieren verwendet werden. ]
Für solche Funktionen gilt Gl. (1) nicht, es sei denn, man betrachtet die Untermenge
derjenigen Funktionen, die die Relation
f (1) = eiα f (0) ,
mit beliebigem reellen α erfüllen.
7.2 Schränken Sie die auf ganz R quadratintegrablen Funktionen auf diejenigen ψi (x) ein,
die für |x| → ∞ stärker als jede inverse Potenz abklingen. Zeigen Sie, dass jetzt Gl. (1)
gilt.
Mit der Korrespondenz E ↔ i~∂/∂t, p ↔ (~/i)∇
folgt aus der relativistischen Energie-Impulsbeziehung E 2 = c2 p2 + (mc2 )2 eine Wellengleichung.
8.1 Stellen Sie diese Gleichung, die sog. Klein Gordon-Gleichung auf und betrachten Sie
ebene Wellen als Lösungen dieser Dierentialgleichung.
8.2 Für eine Lösung Φ(t, x) der Klein Gordon-Gleichung werde
8. Relativistische Wellengleichung:
i
Φ(t, x) = exp{− mc2 t}ψ(t, x)
~
angesetzt. In welcher Näherung folgt die Schrödinger-Gleichung aus der Klein GordonGleichung?
Abgabe: Freitag, den 21. Mai 2004 in der Vorlesung