Zwischenwertsatz: f(a, b) → R stetig, f(a) ≦ y ≦ f(b)

Zwischenwertsatz: f (a, b) → R stetig, f (a) 5 y 5 f (b) oder f (b) 5 y 5
f (a) ⇒ ∃x0 ∈ [a, b] : f (x0 ) = y.
Bew.: Ohne Einschränkung: y = 0 (Betrachte f (x) − y statt f )
Ohne Einschränkung: f (a) 5 0 5 f (b) (sonst betrachte −f )
A = {x ∈ [a, b]|f (x) = 0} ⇒ A 6= ∅, denn b ∈ A, A nach unten beschränkt
(z.B. durch a) ⇒ ∃x0 = inf(A). Ann.: f (x0 ) 6= 0
f stetig bei x0 ⇒ ∃δ > 0 : ∀x ∈ [a, b] : [|x − x0 | < δ ⇒ |f (x) − f (x0 )| <
|f (x0 )|]
1. Fall: f (x0 ) > 0 ⇒ x0 > a und ∀x ∈ [a, b]∩]x0 − δ, x0 + δ[: f (x) > 0 ⇒ x ∈
A ⇒ ∃x ∈ A mit x < x0 , Widerspruch zu x0 untere Schranke von A.
2. Fall: f (x0 ) < 0 ⇒ x0 < b ⇒ ∀x ∈ [a, b]∩]x0 − δ, x0 + δ[: f (x) < 0 ⇒ x ∈
/A
Also: ∀x ∈ A : x ∈]x
/ 0 − δ, x0 + δ[ und x = x0 (da x0 untere Schranke)
⇒ x = x0 + δ ⇒ x0 + δ ist untere Schranke von A, Widerspruch zu x0 größte
untere Schranke.
Also: Ann. ist falsch ⇒ f (x0 ) = 0
Bsp.: (1) Sei f ∈ R[x] Polynom mit deg(f ) ungerade ⇒ f (x) < 0 für x klein
und f (x) > 0 für x groß(oder umgekehrt) ⇒ f hat Nullstelle in R.
(2) n ∈ N>0 , f (x) = xn , a = 0 ⇒√f (0) 5 a, f (x) = a für x groß⇒ ∃x0 ∈ R :
f (x0 ) = a, d.h. xn0 = a, d.h. x0 = n a. Also: in R existieren n-te Wurzeln von
positiven Zahlen.
(3) f : Q → Q, f (x) = x2 ⇒ f (0) = 0, f (2) = 4, y = 2 ∈ [0, 4], aber
2∈
/ f (Q) =Bild(f ) Also: ZWS gilt nicht für Q statt R.
Def. 6: Eine Teilmenge I ⊆ R heißt Intervall, falls gilt: ∀a, b ∈ I mit a 5 b
und ∀x ∈ R mit a 5 x 5 b : x ∈ I, d.h. [a, b] ⊆ I.
Typen: [a, b], ]a, b], ] − ∞, a], . . . , R, ∅
Korollar 7: I ⊆ R Intervall, f : I → R stetig ⇒ f [I] ist ein Intervall.
(”Stetige Bilder von Intervallen sind Intervalle”)
Bew.: Seien y1 , y2 ∈ f [I] ⇒ ∃x1 , x2 ∈ I : y1 = f (x1 ), y2 = f (x2 ).
Ohne Einschränkung: x1 5 x2 .I Intervall⇒ [x1 , x2 ] 5 I Sei y ∈ [y1 , y2 ] ⇒
∃x0 ∈ [x1 , x2 ] : f (x0 ) = y ⇒ x0 ∈ I, y ∈ f [I]
Prop. 8: I ⊆ R Intervall, f : I → R streng monoton (nicht notwendig
stetig!), D = f [I] ⇒ f −1 : D → R ist stetig.
Bew.: Für f wachsend (Betrachte sonst −f )
Sei y0 ∈ D beliebig, x0 = f −1 (y0 ), d.h. y0 = f (x0 ) und sei ε > 0
1. Fall: ∃a, b ∈ I mit a < x0 < b (d.h. x0 kein Randpunkt von I)
Eventuell ε verkleinern, so dass x0 − ε, x0 + ε ∈ I ⇒ f (x0 − ε) < f (x0 ) <
f (x0 + ε) ⇒ ∃δ > 0
f (x0 − ε) < f (x0 ) − δ, f (x0 ) + δ < f (x0 + ε)f −1 anwenden
x0 − ε < f −1 (y0 − δ), f −1 (y0 + δ) < x0 + ε ⇒ ∀y ∈]y0 − δ, y0 + δ[: x0 − ε <
−1
f (y) < x0 + ε ⇒ |f −1 (y) − f −1 (y0 )| < ε
2. Fall: x0 Randpunkt von I: ähnlich!
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Korollar 9: I ⊆ R Intervall, f : I → R stetig, streng monoton ⇒ J := f (I)
Intervall und f 0 : J → R ist stetig, streng monoton.
√
Bsp.: n ∈ N>0 , f : R=0 → R, x 7→ n x stetig, da Umkehrfunktion von
x → xn
Ebenso x 7→ xα mit α ∈ Q stetig auf R=0 .
P∞
n
Satz 10: Sei P (x) =
n=0 an x eine Potenzreihe mit Konvergenzradius
ρ ⇒ P (x) ist in allen x mit −ρ < x < ρ stetig.
Bew.: Später (als Folge der Differenzierbarkeit)
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