Vollständigkeit von C([a, b],K) - sigma

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Vollständigkeit von C([a, b], K)
Sebastian Thomas
04.07.2007
Es bezeichne K entweder den Körper R der reellen Zahlen oder den Körper C der komplexen Zahlen. Für eine
Funktion f : [a, b] → K sei
||f ||∞ = sup |f (x)|
x∈[a,b]
der Wert der Supremumsnorm || · ||∞ von f .
Satz. Es seien a, b ∈ R mit a < b gegeben. Der Raum C([a, b], K) aller stetigen Funktionen [a, b] → K ist
vollständig bzgl. der Supremumsnorm.
Beweis. Es sei (fn )n∈N eine Cauchyfolge in C([a, b], K) bzgl. || · ||∞ und es sei ein ε > 0 beliebig gegeben. Dann
gibt es ein N ∈ N mit
ε
||fn − fm ||∞ < für alle n, m ≥ N.
4
Für x ∈ [a, b] folgt
|fn (x) − fm (x)| ≤ ||fn − fm ||∞ <
ε
< ε für alle n, m ≥ N,
4
d.h. (fn (x))n∈N ist eine Cauchyfolge in K. Wegen der Vollständigkeit von K konvergiert (fn (x))n∈N und wir
erhalten eine wohldefinierte Abbildung f : [a, b] → K, x →
7 limn→∞ fn (x). Es gibt also für alle x ∈ [a, b] eine
natürliche Zahl Nx ∈ N mit
ε
|fn (x) − f (x)| < für alle n ≥ Nx ,
4
wobei wir o.B.d.A. annehmen können, dass Nx ≥ N für alle x ∈ [a, b] ist.
Wir wollen zeigen, dass f stetig auf [a, b] ist. Hierzu sei ein x0 ∈ [a, b] beliebig gegeben. Da fNx0 stetig in x0 ist,
gibt es ein δ > 0 mit |fNx0 (x) − fNx0 (x0 )| < 4ε für alle x ∈ [a, b] mit |x − x0 | < δ. Dies impliziert aber
|f (x) − f (x0 )| = |f (x) − fNx (x) + fNx (x) − fNx0 (x) + fNx0 (x) − fNx0 (x0 ) + fNx0 (x0 ) − f (x0 )|
≤ |f (x) − fNx (x)| + |fNx (x) − fNx0 (x)| + |fNx0 (x) − fNx0 (x0 )| + |fNx0 (x0 ) − f (x0 )|
≤ |fNx (x) − f (x)| + ||fNx − fNx0 ||∞ + |fNx0 (x) − fNx0 (x0 )| + |fNx0 (x0 ) − f (x0 )|
ε ε ε ε
< + + + = ε,
4 4 4 4
d.h. f ist ebenfalls stetig in x0 . Wegen x0 ∈ [a, b] beliebig folgt also f ∈ C([a, b], K).
Schließlich ist noch zu überprüfen, dass f der Grenzwert von (fn )n∈N in C([a, b], K) bzgl. der Supremumsnorm
ist. Für alle x ∈ [a, b] gilt jedoch
|fn (x) − f (x)| = |fn (x) − fNx (x) + fNx (x) − f (x)| ≤ |fn (x) − fNx (x)| + |fNx (x) − f (x)|
ε ε
ε
≤ ||fn − fNx ||∞ + |fNx (x) − f (x)| < + =
4 4
2
und damit auch
ε
||fn − f ||∞ = sup |fn (x) − f (x)| ≤ < ε für alle n ≥ N.
2
x∈[a,b]
In der Tat konvergiert also (fn )n∈N in der Supremumsnorm gegen f .
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