Elementare Zahlentheorie – ¨Ubungsblatt 6 - KIT

Universität Karlsruhe
Mathematisches Institut II
Prof. Dr. C.-G. Schmidt
Fabian Januszewski
30.05.2007
Elementare Zahlentheorie – Übungsblatt 6
Aufgabe 1
(8 Punkte)
Sei (an )n∈N eine Folge natürlicher Zahlen. Wir definieren dann durch
p0 := 1,
q0 := 0,
p1 := a1 ,
q1 := 1,
pn := an pn−1 + pn−2 für n ≥ 2,
qn := an qn−1 + qn−2 für n ≥ 2,
zwei Folgen (pn )n∈N0 und (qn )n∈N0 . Zeigen Sie:
(a) Die beiden Folgen (pn )n∈N0 und (qn )n∈N0 sind für n ≥ 2 streng monoton wachsend
und es gilt
qn pn−1 − pn qn−1 = (−1)n−1
für alle n ∈ N .
(b) Ist (an )n∈N die Kettenbruchentwicklung einer reellen Zahl x , so gilt für die n ten Näherungsbrüche rn ∈ Q und die durch x = [a1 , a2 , . . . , an , xn+1 ] eindeutig
bestimmten Restzahlen xn+1 ∈ R :
x =
pn xn+1 + pn−1
qn xn+1 + qn−1
und
rn =
pn
.
qn
(c) Für eine Nullstelle y ∈ R eines irreduziblen quadratischen Polynoms f (X) ∈ Q[X]
bezeichne y 0 die zweite Nullstelle von f (X) . Ist x ∈ R eine quadratische Irrationalzahl, so gilt für alle n ∈ N :
x0n+1 =
qn−1 x0 − pn−1
.
−qn x0 + pn
(d) Unter den Voraussetzungen von Teilaufgabe (b) konvergiert die Folge (rn )n∈N der
n -ten Näherungsbrüche gegen x . Genauer gilt für n > 1 :
|x − rn | <
1
.
qn2
(e) Die Folge (an )n∈N ist die Kettenbruchentwicklung einer reellen Zahl.
bitte wenden!
Aufgabe 2
(4 Punkte)
Die Erde benötigt etwa
104629
432000
Tage, um die Sonne einmal zu umrunden. Berechnen Sie die Kettenbruchentwicklung von
t , sowie den ersten, zweiten und sechsten Näherungsbruch. Erklären Sie damit das Prinzip
der Schaltjahre des heute noch gültigen gregorianischen Kalenders.
t := 365 +
Aufgabe 3
(4 Punkte)
√
Sei γ = ( 5 + 1)/2 und desweiteren F1 := F2 := 1 und Fk := Fk−1 + Fk−2 für k > 2 .
Die Folge (Fk )k∈N heißt Folge der Fibonacci-Zahlen.
(a) Bestimmen Sie die Kettenbruchentwicklung von γ .
(b) Zeigen Sie, daß der n -te Näherungsbruch rn ∈ Q von γ durch
rn =
Fn+1
Fn
gegeben ist.
(c) Zeigen Sie, daß die Folge (Fn+1 /Fn )n∈N gegen γ konvergiert.
Abgabe bis spätestens Mittwoch, den 6. Juni 2007, um 15:30 Uhr in den dafür vorgesehenen Kasten bei Zimmer 308 im Mathebau oder vor Beginn der Übung direkt dort.