Mathematische Rechenmethoden I – Blatt 4

Mathematische Rechenmethoden I – Blatt 4
Abgabe: 26. Nov. 2010
Prof. Matthias Neubert, Valentin Ahrens
WS 2010/11
1. Die Newtonschen Gleichungen für die eindimensionale Bewegung eines Massepunktes
unter Einfluss einer zeitabhängigen Kraft seien gegeben durch (m, f, ω = konst.)
dx(t)
dv(t)
= F (t) = f cos ωt ,
v(t) =
.
dt
dt
Bestimmen Sie die Funktionen v(t) und x(t) mit beliebigen Anfangsbedingungen v0 =
v(0) und x0 = x(0) durch Integration dieser Gleichungen.
(2 P.)
m
2. Lösen Sie die folgenden Integrale durch geeignete Substitutionen:
Z
Z
Z
cot(ln x)
2
dx (x + 2) sin(x + 4x − 6) ,
dx tan x ,
dx
x
(3 P.)
3. Lösen Sie die folgenden Integrale durch partielle Integration:
Z
Z
Z
x
n
dx x e ,
dx x ln x ,
dx x2 sin x
(3 P.)
4. Das Ziel dieser Aufgabe ist die Konstruktion einer analytischen Fortsetzung der
Fakultät auf die reellen Zahlen.
R∞
a) Gegeben Sei zunächst die Funktion Γ(x) = 0 dt tx−1 e−t mit x ∈ R+ . Zeigen Sie
durch partielle Integration, dass Γ(n + 1) = n! mit n ∈ N0 gilt.
Der obige Ansatz erscheint vielversprechend, hat aber den Makel, dass das gegebene
Integral nur für x > 0 konvergiert. Für x ≤ 0 bereitet die untere Grenze Schwierigkeiten. Wir spalten daher den Integrationsbereich in zwei Teilbereiche auf. Das Integral
über [1, ∞) konvergiert ohne jede Einschränkung. Das Integral über [0, 1] können wir
mit Hilfe einer Taylorentwicklung ausrechnen.
b) Zeigen Sie mit Hilfe der Taylor-Reihe der Exponentialfunktion, dass
Z 1
∞
X
(−1)k 1
x−1 −t
dt t e =
.
k!
x
+
k
0
k=0
Die gesuchte analytische Fortsetzung der Fakultät in die reellen Zahlen, die sogenannte
Eulersche Gammafunktion, lautet also
Z ∞
∞
X
(−1)k 1
Γ(x) =
+
dt tx−1 e−t .
k!
x
+
k
1
k=0
Für welche Werte von x ist diese Funktion definiert?
5. Berechnen Sie:
Z ∞
dx x2 e−ax ,
0
Z
2
1
1
,
dx √
x−1
Z
∞
1
1
1
dx √
−
1 + x2 x
(6 P.)
,
P
Z
0
2
dx
x+1
x−1
(6 P.)