F11-T2-A2 - math.uni

F11-T2-A2
P
a) Sei P = ni=0 ai X i ∈ Z[X] ein Polynom mit an 6= 0. Zeigen Sie: Ist pq eine rationale
Nullstelle von P , und sind p und q teilerfremde ganze Zahlen, dann gilt q|an und p|a0 .
b) Bestimmen Sie die rationalen Nullstellen und deren Multiplizitäten von
P = X 4 − 2X 3 + 3X 2 − 4X + 2
und zerlegen Sie P in irreduzible reelle Polynome.
c) Sei Qa = X 3 + 2X + a. Bestimmen Sie alle a ∈ R, so dass P und Qa teilerfremd in
R[X] sind.
Lösungsvorschlag. Zu a). Vergleiche Aufgabe 3 vom Übungsblatt “Polynome”. Wir setzten
p/q in P ein und multiplizieren mit q n , so dass wir erhalten
an pn +
n−1
X
ai pi q n−i + a0 q n = 0
i=1
P
i n−i , folgt p|(a q n ), also p|a wegen ggT(p, q) = 1
Da nun gilt p teilt an pn + n−1
0
0
i=1 ai p q
P
n−1
ai pi q n−i + a0 q n , dass q|(an pn ),
nach Voraussetzung. Analog erhält man aus q teilt i=1
also q|an wegen ggT(p, q) = 1.
Zu b). Eine rationale Nullstelle p/q von P muss nach Teil a) erfüllen p|2 und q|1, also
p ∈ {±1, ±2} und q 3 {±1}. Wir testen
• P (1) = 1 − 2 + 3 − 4 + 2 = 0,
• P (−1) = 1 + 2 + 3 + 4 + 2 6= 0,
• P (2) = 16 − 16 + 12 − 8 + 2 6= 0,
• P (−2) = 16 + 16 + 12 + 8 + 2 6= 0.
Somit ist 1 die einzige rationale Nullstelle von P und wir prüfen noch nach P 0 (1) =
4 − 6 + 6 − 4 = 0 und (mit P 00 (X) = 12X 2 − 12X + 6) P 00 (1) = 6 6= 0, also ist 1 eine
doppelte Nullstelle von P , das heißt, P zerfällt in (X − 1)2 und einen irreduziblen Faktor
von Grad 2. Diesen berechnen wir zu
P (X)/(X − 1)2 = X 2 + 2,
die vollständige Zerlegung über Q ist also
P (X) = (X − 1)2 · (X 2 + 2),
und, da X 2 +2 auch über R irreduzibel ist, ist dies zugleich auch die irreduzible Zerlegung
über R.
1
Zu c). Nach b) ist ggT(Qa , P ) = 1 genau dann, wenn Qa (1) 6= 0 und X 2 + 2 teilt nicht
Qa gilt. Nun ist 1 genau dann Nullstelle von Qa , wenn
3 + a = Qa (1) = 0
gilt, also a = −3. Weiterhin ist
Qa (X) ≡ (−2)3 + 2X + a = 2X + a − 8
mod X 2 + 2,
das bedeutet, der Rest der Division von Qa mit X 2 + 2 ist gerade 2X + a − 8 6= 0, das
bedeutet X 2 + 2 ist für kein mögliches a ein Teiler von Qa . Somit ist also
ggT(Qa , P ) = 1
2
⇔
a 6= −3.