9. Tutorium zur Vorlesung Analysis I im WS 11/12

Prof. Dr. Patrizio Neff
Essen, 18. Januar 2012
Dirk Damjantschitsch
Fakultät für Mathematik Universität Duisburg-Essen
Campus Essen
9. Tutorium zur Vorlesung Analysis I im WS 11/12
Aufgabe 1:
Eine Funktion f : X → Y zwischen total geordneten Mengen heiÿt monoton wachsend oder
isoton, wenn
1. (∀x, x0 ∈ X)
x ≤ x0 ⇒ f (x) ≤ f (x0 )
und streng monoton wachsend oder streng isoton, wenn
2. (∀x, x0 ∈ X)
x < x0 ⇒ f (x) < f (x0 ) gilt.
Ist I ein Intervall in R und f : I → R eine Funktion, so denieren wir für x ∈ I, x 6=
min I, max I die Zahlen
f− (x) := sup f {I ∩ (−∞, x)},
f+ (x) := sup f {I ∩ (x, −∞)}
und nennen die Dierenz Sprungf (x) := f+ (x) − f− (x) den Sprung von f an der Stelle x.
Auÿerdem nennen wir eine Funktion von rechts stetig im Punkt x, wenn
(∀ε > 0)(∃δ > 0) f (I ∩ [x, x + δ)) ⊆ Uε (f (x)).
Aufgabe 1
Es sei x ∈ R eine reelle Zahl. Geben Sie eine isotone Funktion an, die auf (−∞, x) und
auf (x, ∞) konstant ist und in x den Sprung 1 hat. Was für Möglichkeiten gibt es? Welche
Möglichkeiten gibt es, wenn die Funktion auf dem Intervall (−∞, x) den Wert 0 annehmen
soll? Welche der von Ihnen denierten Funktionen ist rechtsseitig stetig?
Aufgabe 2:
Eine Funktion f : I → R ist auf einem Intervall I von rechts stetig dann und nur dann,
wenn in allen x ∈ I, x 6= max I die Beziehung f (x) = f+ (x) gilt.
Aufgabe 3
Für eine Folge (xn )n∈N mit Elementen xn ∈ [0, 1] denieren wir eine monotone Funktion
f : [0, 1] → R durch
f (x) :=
X 1
2n
x ≤x
n
Beweisen Sie, dass diese Funktion in xn von rechts stetig ist und den Sprung 21n hat; in allen
anderen Punkten ist sie stetig.
Da wir z.B. {xn | n ∈ N} = (0, 1) ∩ Q setzen können, kann es passieren, dass f auf keinem
noch so kleinen Teilintervall von [0, 1] stetig ist.
Aufgabe 4:
Eine isotone Funktion f : [a, b] → R hat höchstens abzählbar viele Unstetigkeitsstellen. D.h.
es gibt eine abzählbare Menge A ⊆ [a, b], so dass f in allen x ∈ [a, b]\A stetig ist.
Hinweis: Deniere
A = {x ∈ [a, b] | f ist unstetig in x} = {x ∈ [a, b] | Sprungf (x) > 0}
Setze An := {x ∈ A | Sprungf (x) > n1 }. Wir bemerken
A=
∞
[
An .
n=1
Zeigen Sie, dass die Anzahl |An | der Elemente in An beschränkt ist durch n · (f (b) − f (a),
also endlich ist.
Aufgabe 5:
Wir haben eben gezeigt, dass es in einem abgeschlossenen Intervall für eine isotone Funktion nur abzählbar viele Unstetigkeitsstellen gibt. Andererseits hatten wir gesehen, dass es
Funktionen gibt, die in keinem noch so kleinen Intervall stetig sind. Wie ist das zu erklären?