Analysis 3 - Fachrichtung Mathematik

Fachrichtung Mathematik
Institut für Analysis
WS 2007/2008
Prof. Dr. J. Voigt
Analysis 3
für mathematische Studiengänge
6. Übung
Übungsaufgaben
(Besprechung in den Übungen vom 12.11. bis 15.11.2007)
36. Determine the points
(x0 , y0 )
for which the dierential equation
y 0 = f (x, y) :=
x2 + y
x−y
satises the basic existence and uniqueness theorem of Picard-Lindelöf.
J ⊆ R ein oenes Intervall, x0 ∈ J, y0 > 0, f, g, h : J → R
α ∈ R, α 6= 0, α 6= 1. Zeigen Sie, dass das Anfangswertproblem
37. Seien
stetig und
y 0 + f (x)y + h(x)y α = 0, y(x0 ) = y0
genau eine Lösung
y
in einer hinreichend kleinen Umgebung von
x0
hat. Was können
Sie über die Existenz der Lösung im Groÿen aussagen?
38. Sei
M ⊆R
kompakt,
p : M → (0, ∞) stetig und C(M )
M . Zeigen Sie:
der Vektorraum der stetigen
reellwertigen Funktionen auf
a) Durch
kf k := sup {p(x) · |f (x)|; x ∈ M } (f ∈ C(M ))
ist eine Norm auf
C(M )
erklärt.
b) Die oben denierte Norm
c)
Für
(C(M ), k · k)
k·k
ist zur Supremumsnorm
k · k∞
äquivalent.
ist ein Banach-Raum.
α ∈ R erhält man mit p(x) := e−αx die in der Vorlesung verwendete Morgenstern-
Norm.
C[0, 1] der stetigen Funktionen
p : C[0, 1] → R deniert durch
39. Auf dem Vektorraum
Funktional
auf dem Intervall
[0, 1]
ist ein
p(f ) := sup {x2 · |f (x)|; x ∈ [0, 1]}.
Bestätigen Sie:
a)
b)
p ist eine Norm auf C[0, 1].
(C[0, 1], p) ist nicht vollständig.
40. Beweisen Sie den folgenden Fixpunktsatz von Weissinger: Sei
U
eine nichtleere ab∞
P
geschlossene Teilmenge eines Banachraumes E mit Norm k · k, ferner
αn eine
n=1
konvergente Reihe positiver Zahlen und A : U → U eine Abbildung mit
kAn (u) − An (v)k ≤ αn ku − vk
u, v ∈ U
und
n ∈ N.
A genau einen Fixpunkt u ∈ U . Dieser ist für jedes Startelement u0 ∈ U
n
der Iterationsfolge (un ), un := A (u0 ), und es gilt die Fehlerabschätzung
!
∞
X
kun − u∗ k ≤
αi ku1 − u0 k.
Dann besitzt
Grenzwert
für alle
∗
i=n
Bitte wenden bzw. Fortsetzung nebenan
Hausaufgaben
(Abgabe bis zum Dienstag, dem 20.11.2007, 13.00 Uhr, im entsprechend gekennzeichneten
Briefkasten bei WIL C 107)
41. Lösen Sie das Anfangswertproblem
(xy + x2 y 3 )y 0 = 1, y(1) = 1.
Hinweis: Mit einem Kunstgri lässt sich die Dierentialgleichung als Bernoulli'sche
interpretieren.
J ⊆ R ein oenes Intervall, f, g, h : J → R
y0 ∈ R. Zeigen Sie, dass das Anfangswertproblem
42. Seien
stetige Funktionen und
x0 ∈ J,
y 0 + f (x)y + h(x)y 2 = g(x), y(x0 ) = y0
mit einer sogenannten Riccati'schen Dierentialgleichung genau eine Lösung
einer hinreichend kleinen Umgebung von
43. Seien
a, b ∈ R, h > 0.
x0
y
in
hat.
Zeigen Sie mit Hilfe des Banachschen Fixpunktsatzes, dass die
Dierentialgleichung mit nacheilendem Argument
y 0 (x) = f (x, y(x), y(x − h))
genau eine Lösung
ϕ : I := [a − h, b] → R
ϕ(x) = ϕ0 (x)
besitzt. Dabei sei
f : [a, b] × R × R → R
(a ≤ x ≤ b)
mit der Eigenschaft
(a − h ≤ x ≤ a)
stetig und genüge der Lipschitz-Bedingung
|f (x, y, η) − f (x, ỹ, η̃)| ≤ M · (|y − ỹ| + |η − η̃|)
Auÿerdem sei die Funktion
ϕ0 : [a − h, a] → R
(a ≤ x ≤ b, y, ỹ, η, η̃ ∈ R).
stetig.
Hinweis: Formulieren Sie die Aufgabe als Integralgleichung, arbeiten Sie im Funktionenraum
C(I)
und versehen Sie ihn mit der Norm
kϕk := sup e−αx · |ϕ(x)|.
x∈I