Blatt 4 - Mathematisches Institut Heidelberg

SS 2016
Höhere Mathematik für’s Studium der Physik
12. Mai 2016
Aufgabenblatt 4
Abgabe am 19.5.2016
Aufgabe 4.1 (Häufungspunkte)
√
√
√
Sei ξ ∈ C gegeben durch ξ := 5−1+i 4 10+2 5 . Zeigen Sie, dass |ξ| = 1 und berechnen Sie
ξ 2 , ξ 3 , ξ 5 , ξ 100 und ξ 2016 . Geben Sie dann alle Häufungspunkte der komplexen Folge (ξ n )n∈N ⊂
C an.
Aufgabe 4.2 (Dichte Teilfolge) (4+6 P)
Wir definieren für x ∈ R: bxc := max{z ∈ Z | z ≤ x} und {x} := x − bxc. Sei nun α ∈ (0, 1),
und für n ∈ N sei an := {nα} ∈ [0, 1]. Zeigen Sie:
(a) Für α ∈ Q ∩ (0, 1) hat die Folge (an )n∈N nur endlich viele Häufungspunkte.
(b) Ist α ∈ (0, 1) − Q, dann ist jeder Punkt im Intervall [0, 1] ist Häufungspunkt der Folge
(an )n∈N .
Tipp: (an )n∈N hat mindestens einen Häufungspunkt (weshalb?) und daher gibt es für
jedes > 0 zwei natürliche Zahlen n1 6= n2 ∈ N, sodass > an1 − an2 > 0. (Warum sind
alle an verschieden?) Zeigen Sie, dass an1 −n2 < für n1 > n2 gilt und untersuchen dann
ak(n1 −n2 ) . Beachten (und begründen) Sie auch, dass bk(n1 − n2 )αc = kb(n1 − n2 αc + c
mit c ∈ N, c < k. Was ändert sich im Fall n2 > n1 ?
Aufgabe 4.3 (Operatornorm) (3+4+3 P)
Seien V, W reelle, endlichdimensionale Vektorräume. Wir definieren für A ∈ HomR (V, W ):
||A|| := sup ||Ax||W ||x||V = 1 .
Zeigen Sie
(a) Dies definiert eine Norm auf HomR (V, W ).
(b) Diese Norm ist submultiplikativ, d.h. für einen weiteren reellen, endlichdimensionalen
Vektorraum U und B ∈ HomR (W, U ) gilt ||BA|| ≤ ||B|| · ||A||.
(c) Die Maximumsnorm || · ||∞ auf Rn·m , gegeben durch ||A||∞ := maxi,j |Aij |, ist nicht
submultiplikativ. (Und das obwohl diese beiden Normen äquivalent sind.)
Aufgabe 4.4 (Topologie)
√ √
Sei S := (− 2, 2). Man beweise oder widerlege ob S ⊂ R offen und/oder abgeschlossen im
metrischen Raum (R, d) ist und ob die Menge S ∩ Q ⊂ Q offen und/oder abgeschlossen im
metrischen Raum (Q, d) ist, wobei d die Standardmetrik gegeben durch d(x, y) = |x − y| ist.
Prof. Johannes Walcher
Timo Essig
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10 Punkte pro Aufgabe
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12. Mai 2016
Aufgabe 4.5 (Zusatzaufgabe)
Sei X 6= ∅ irgend eine Menge. In der Vorlesung wurde der Raum der beschränkte reellen
Funktionen auf X wie folgt definiert:
B(X, R) := f : X → R ∃M > 0 : |f (x)| ≤ M ∀x ∈ X .
Auf diesem Raum definiert die Zuordnung ||f ||∞ := sup |f (x)|x ∈ X eine Norm. Sei d||·||∞
die von der obigen Norm induzierte Abstandsfunktion. Zeigen Sie, dass B(X, R), d||·||∞ ein
vollständiger metrischer Raum. Tipp: Wie Sie wissen bedeutet dies, dass jede Cauchy-Folge
konvergiert. Sei (fn )n∈N ⊂ B(X, R) eine Cauchyfolge. Der Kandidat für den Grenzwert ist
dann gegeben durch die Zuordnung x 7→ limn→∞ fn (x). (Warum ergibt dies ein Element in
B(X, R)?)
Sie können zuerst den Fall |X| < ∞, d.h. einer endlichen Menge, behandeln. Prüfen Sie dann,
inwiefern sich Ihr Beweis auf den Fall einer unendlichen Menge X überträgt.
Prof. Johannes Walcher
Timo Essig
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