Ubungen zur Analysis II — Blatt 1 Prof. Dr. R

Übungen zur Analysis II — Blatt 1
Prof. Dr. R. Weissauer
Dr. K. Maurischat
Sommersemester 2016
Abgabe: 29. April 2016, 11.00 Uhr
Begründen bzw. beweisen Sie Ihre Antworten!
1. Aufgabe: (4 Punkte) Bestimmen Sie für natürliche Zahlen n ∈ N das Integral
Z π
sinn x dx .
0
2. Aufgabe: (4 Punkte) Bestimmen Sie für natürliche Zahlen n ∈ N das Integral
Z ∞
2
x2n+1 e−x dx .
−∞
3. Aufgabe: (4 Punkte) Wir nennen einen metrischen Raum (X, d) diskret (oder
mit der diskreten Topologie ausgestattet), wenn für jeden Punkt x ∈ X die Menge
{x} offen ist. Zeigen Sie,
(a) die ganzen Zahlen Z ⊂ R versehen mit der euklidischen Metrik bilden einen
diskreten metrischen Raum.
(b) jede Funktion f : X → Y von einem diskreten metrischen Raum (X, dX ) in
einen beliebigen metrischen Raum (Y, dY ) ist stetig.
4. Aufgabe: (4 Punkte) Es sei (X, d) ein diskreter metrischer Raum. Zeigen Sie,
(a) eine Folge (xn )n∈N in X konvergiert genau dann, wenn sie stationär wird, d.h.
wenn ein N ∈ N existiert so, dass für alle n > N gilt xn = xn+1 .
(b) eine Teilmenge M ⊂ X ist genau dann kompakt, wenn sie endlich ist.
Die Übungsblätter zur Vorlesung Analysis II sind auch erhältlich unter
http://www.mathi.uni-heidelberg.de/∼kmaurisc/analysisII SoSe16.htm