Pro–Informatik: Logik und Diskrete Mathematik 2. ¨Ubung SS 08

Pro–Informatik: Logik und Diskrete Mathematik
2. Übung
SS 08
Aufgabe 1:
Prädikatenlogik – Quantoren
Der Gültigkeitsbereich für die Variablen x, y, z in dieser Aufgabe sei auf die positiven
reellen Zahlen (ohne Null) R+ festgelegt. Dazu sind die folgenden Prädikate gegeben:
P (x) = 1 ⇐⇒ x ≥ 1
Q(x, y) = 1 ⇐⇒ x < y
R(x, y, z) = 1 ⇐⇒ x + y = z
Welche Wahrheitswerte haben die folgenden Aussagen?
a) R(1, 2, 3)
b) Q(3,2)
d) ∃y ∀x (P (x) → Q(y, x))
f) ∀x ∀z ∃y R(x, y, z)
Aufgabe 2:
c) ∃x R(x, x, 3)
e) ∀z ∃x ∃y (P (z) → P (x) ∧ R(x, y, z))
g) ∀x ∀z ∃y (Q(x, z) → R(x, y, z))
Prädikatenlogik – Quantoren
Die Definition, dass eine Funktion f auf einem Intervall I ⊆ R gleichmäßig stetig ist,
kann man wie folgt mit Quantoren beschreiben:
∀ > 0 ∃δ > 0∀x ∈ I ∀x0 ∈ I |x − x0 | < δ → |f (x) − f (x0 )| < a) Negieren Sie diese Aussage und bringen Sie die Negation in eine möglichst einfache,
gut verständliche Form.
b) Zeigen Sie, dass die Funktion f (x) = x2 über dem Intervall [−2, 2] gleichmäßig
stetig ist (Tip: 3. Binomische Formel nutzen)!
c) Zeigen Sie, dass die Funktion g(x) =
gleichmäßig stetig ist.
Aufgabe 3:
1
x
über dem offenen Intervall (0, 1) nicht
Beweis mit Kontraposition
Beweisen Sie die folgende Aussage mit Kontraposition:
x3 − x2 + x − 3 ≤ 18 =⇒ x ≤ 3
Aufgabe 4:
Widerspruchsbeweis
Beweisen Sie die folgende Aussage durch Widerspruch:
In einem stumpfwinkligen Dreieck gibt es mindesten einen Winkel, der kleiner als
π/4, also 45 ist.