Lineare Algebra und Analytische Geometrie I
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Dr. B. Ackermann 3. Übungsblatt zur Vorlesung Prof. Dr. R. Dipper Lineare Algebra und Analytische Geometrie I Winter 2004/05 Aufgabe P 4. Logik: Quantoren Aussagelogik alleine (wie auf dem letzten Übungsblatt) reicht in der Regel nicht. Man braucht sogenannte Quantoren, nämlich den Allquantor ( für alle“, Symbol ∀ ) und den Existenzquantor ” (“es existiert“, Symbol ∃ ). Damit lassen sich nun auch Aussagen wie die folgende formal hinschreiben: Alle Autos sind ” rot“. ∀ x ∈ Menge der Autos : x ist rot Nehmen Sie folgende Aussagen und formalisieren Sie sie. • “Alle Blätter sind grün“ • Es gibt kein Übungsblatt, auf dem jede Aufgabe für jeden Studenten lösbar ist.“ ” • In jeder Universitätsstadt gibt es wenigstens einen Vermieter, der kein Zimmer an Stu” denten vermietet.“ • Es gibt Sätze, die für (mindestens) einen Zuhörer unverständlich sind, aber weder aus” schliesslich Fremdwörter enthalten noch mehr als 100 Wörter lang sind.“ Besondere Schwierigkeiten im Zusammenhang mit Quantoren machen Negationen (d.h. Verneinungen, Bildung der gegenteiligen Aussage). Negieren Sie die obigen Sätze. Können Sie daraus Regeln für den Zusammenhang von Quantoren und dem logischen “Nicht“ ableiten ? Aufgabe P 5. Komplexe Zahlen, Polardarstellung Eine komplexe Zahl a + bi kann leicht als Punkt (a, b) in der Ebene R2 interpretiert werden. Diese nennt man in diesem Fall auch komplexe Zahlenebene oder Gaußsche Zahlenebene. Machen Sie sich klar, dass jede komplexe Zahl in der Form r(cos ϕ + i sin ϕ) mit r ∈ R≥0 und 0 ≤ ϕ < 2π geschrieben werden kann. Wie sieht die Multiplikationsregel für zwei komplexe Zahlen (r1 , ϕ1 ) und (r2 , ϕ2 ) aus ? Bestimmen Sie alle komplexen Lösungen von z n − 1 = 0 wobei n ∈ N beliebig aber fest ist. Aufgabe P 6. Sei M eine beliebige Menge. Wir definieren auf der Potenzmenge P(M ) die Operation ∗ : A ∗ B := (A\B) ∪ (B\A) für alle Teilmengen A, B ∈ P(M ) Diese Verknüpfung heißt symmetrische Differenz. Zeigen Sie, dass P(M ) damit zu einer abelschen Gruppe wird. 3. Übungsblatt Lineare Algebra und Analytische Geometrie I Hausübungen (Abgabe in der nächsten Gruppenübung): Aufgabe H 6. endliche Körper Zeigen Sie, dass Z/nZ für n ∈ N genau dann ein Körper ist, wenn n eine Primzahl ist. Sie können das folgende ohne Beweis verwenden: Seien a, b ∈ Z mit größtem gemeinsamen Teiler d. Dann gibt es m, n ∈ Z mit ma + nb = d Aufgabe H 7. Bilden die folgenden Vektoren ein Erzeugendensystem für den Vektorraum R3 ? 1 3 1 −1 2 , 0 , −1 , 4 5 7 1 3 Aufgabe H 8. Gegeben seien 5 Vektoren v1 = (2, 5, 3), v2 = (1, 7, −2), v3 = (0, 1, −1), v4 = (3, 3, 8) und v5 = (−1, 2, −5). Geben Sie alle Möglichkeiten an, • v3 durch v1 , v2 und v4 linear zu kombinieren, • v5 durch v1 , v2 und v3 linear zu kombinieren, • den Nullvektor 0 = (0, 0, 0) durch v1 , v2 und v4 linear zu kombinieren. Geben Sie jeweils eine geometrische Interpretation der Lösungsmengen an.
