Quantoren - TU Ilmenau

Quantoren
Eine Verallgemeinerung der Aussagen stellen Aussageformen dar. Es sind sprachliche
Ausdrücke, die Variable enthalten. Bei Belegung dieser Variablen mit Werten, werden die
Aussageformen zu Aussagen.
Beispiel 1 p(x) = „x2 + x − 6 = 0“ ist eine Aussagenform mit der Variablen x. Bei der
Belegung von x durch reelle Zahlen erhalten wir eine Aussage. Für x = 2, −3 ergeben
sich die Wahrheitswerte p (2) = 1, p (−3) = 1 und für alle anderen reellen Zahlen gilt
p (x) = 0.
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Wir interessieren uns für Belegungen von Aussageformen bezogen auf bestimmte Bereiche
von x , die für spätere mathematische Formulierungen von großem Interesse sind. Hierzu
benutzen wir so genannte Quantoren.
Definition 2 (Existenzquantor) ∃ x : p (x) ist wahr, wenn es mindestens ein x
gibt, für welches p (x) wahr ist. ∃ x : p (x) ist falsch, wenn es kein x gibt, für welches
p (x) wahr ist.
Sprechweise: Es gibt ein x mit (der Eigenschaft) p (x) . Oft wird der Bereich, sagen wir
die Menge B, auf den sich x beziehen soll vorher festgelegt oder direkt hineingeschrieben
∃ x ∈ B : p (x).
W
W
Andere Schreibweisen sind: ∃x∈B : p (x) , x ∈ B : p (x) , x∈B : p (x).
Bei möglichen Missverständnissen werden auch zusätzliche Klammern gesetzt. Der Doppelpunkt steht meist nur unmittelbar vor p (x).
Durchläuft x als Bereich die endlich vielen Elemente a, b, ..., c, dann gilt
(∃ x ∈ {a, b, ..., c} : p (x)) ⇐⇒ p (a) ∨ p (b) ∨ ... ∨ p (c) .
Der Existenzquantor ist somit eine Verallgemeinerung der Disjunktion auf beliebig viele
Aussagen.
Beispiel 3 „∃ reelles x : x2 +x−6 = 0“ ist wahr, da für x = −3, 2 die Aussage „x2 +x−6 =
0“ wahr ist.
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Definition 4 (Allquantor) ∀ x : p (x) ist wahr, wenn für alle x die Aussage p (x)
wahr ist. ∀ x : p (x) ist falsch, wenn es ein x gibt, für welches p (x) falsch ist.
Sprechweise: Für alle x gilt (die Eigenschaft) p (x) . Oft wird auch hier der Bereich,
sagen wir die Menge B, auf den sich x beziehen soll, vorher festgelegt oder direkt hineingeschrieben ∀ x ∈ B : p (x).
V
V
Andere Schreibweisen sind: ∀x∈B : p (x) , x ∈ B : p (x) , x∈B : p (x).
Bei möglichen Missverständnissen werden auch zusätzliche Klammern gesetzt. Der Doppelpunkt steht meist nur unmittelbar vor p (x).
Durchläuft x als Bereich die endlich vielen Elemente a, b, ..., c, dann gilt
∀ x : p (x) ⇐⇒ p (a) ∧ p (b) ∧ ... ∧ p (c) .
Der Allquantor ist damit eine Verallgemeinerung der Konjunktion auf beliebig viele Aussagen.
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Beispiel 5 „∀ reellen x : x2 +x−6 = 0“ ist falsch, da für x = 0 die Aussage „x2 +x−6 = 0“
falsch ist. „∀ reellen x : x2 + 1 6= 0“ ist wahr. Es gibt keine reelle Zahl mit x2 + 1 = 0. 2
Aus den Definitionen der Quantoren ergeben sich unmittelbar die Negationen dieser Beziehungen als Verallgemeinerung der de Morganschen Formeln
(∃ x ∈ B : p (x)) ⇐⇒ ∀ x ∈ B : p (x) ,
(∀ x ∈ B : p (x)) ⇐⇒ ∃ x ∈ B : p (x) .
Man hat bei diesen Quantoren darauf zu achten, dass bei gleichzeitiger Anwendung verschiedener Quantoren auf Aussageformen mehrerer Variabler die Reihenfolge der Quantoren nicht vertauscht werden darf.
Beispiel 6 ∀, ∃ nicht vertauschbar!
Sei X = N; n, m ∈ N.
• p := [∀ n ∃ m : n < m]
w(p) = 1.
• q := [∃ m ∀ n : n < m]
w(q) = 0.
• Auch nicht so: r := [∃ n ∀ m : n < m].
w(r) = 0 (z.B. für m = 1).
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Auch die Koppelung von Quantoren mit Verknüpfungen wie ∨, ∧ genügt bestimmten Regeln. Es gelten die folgenden Gesetze:
∃x : (p (x) ∨ q (x))
∃x : (p (x) ∧ q (x))
∀x : (p (x) ∧ q (x))
(∀x : p (x)) ∨ (∀x : q (x))
∀x : p (x)
p (x)
⇔
⇒
⇔
⇒
⇒
⇒
(∃x : p (x)) ∨ (∃x : q (x)) ,
(∃x : p (x)) ∧ (∃x : q (x)) ,
(∀x : p (x)) ∧ (∀x : q (x)) ,
∀x : (p (x) ∨ q (x)) ,
p (x) ,
∃x : p (x) ,
Aneinanderreihung von Quantoren:
∀x∀y : p (x, y) ⇔ ∀y∀x : p (x, y) ,
∃x∃y : p (x, y) ⇔ ∃y∃x : p (x, y) ,
∃x∀y : p (x, y) ⇒ ∀y∃x : p (x, y) . (!!!)
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Zur Illustration des Quantorenkalküls wird die Aussage
∀ ε > 0 ∃ nε ∀ n ∈ N : n > nε ⇒ |an | < ε
betrachtet. (Definition der Konvergenz einer Folge (an ) ⊂ R gegen Null [Nullfolge!]) Die
Aussage bedeutet, dass die Folge
a1 , a2 , . . .
gegen 0 strebt, d.h. für hinreichend großes n wird der Betrag von an kleiner als jede vorgegebene Schranke ε.
Die Negation erhält man, indem die Kernaussage negiert und die Quantoren ersetzt
werden:
∃ ↔ ∀.
Ersetzen der Implikation und Anwendung der Morganschen Regel ergibt
¬(n > nε ⇒ |an | < ε| < ε) ⇔ (n > nε ∧ |an | ≥ ε).
Damit hat die negierte Aussage die Form
∃ ε > 0 ∀ nε ∃ n ∈ N : n > nε ∧ |an | ≥ ε .
Dies bedeutet, dass die Folge (an ) nicht gegen 0 konvergiert, d.h. es existiert eine relle
Zahl ε > 0, die von dem Glied an betragsmäßig immer wieder überschritten wird.
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