Blatt 2

Grundbegriffe der Mathematik
MA S400
Aufgabenblatt 2
Frühlingssemester 2017
Aufgabenblatt 2
40 Punkte
Aufgabe 1 (Vereinfachen logischer Aussageformen)
Ersetzen Sie die nachstehenden Aussageformen durch möglichst einfache logisch äquivalente Aussageformen.
Weisen Sie die Äquivalenzen durch schrittweises Umformen nach und geben Sie in jedem Schritt
• das verwendete Gesetz (vgl s.19) beziehungsweise welche Umformungsregel (vgl s.18) an, und
• welche Substitutionsregel (vgl s.20)
verwendet wurde.
a) (p → q) ∧ (p ∧ ¬q)
3
b) (p → ¬q) ∨ [(p ∧ ¬q) → ¬p]
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Aufgabe 2 (Anwendung aus Mathematik III – Lineare Ungleichungssystem (s.68))
Gegeben Sind die Ungleichungen
y ≤ 0.5 ⋅ x + 6
y > −x − 3
y ≥4⋅x−8
(UG1)
(UG2)
(UG3)
Beschreiben Sie mittels Quantoren die folgenden Aussagen beziehungsweise Aussageformen und vereinfachen
Sie diese algebraisch und logisch möglichst weit. Bestimmen Sie bei einer Aussage, ob sie wahr oder falsch ist,
und bei einer Aussageform ob sie unerfüllbar, teilgültig, oder allgemeingültig ist.
a) Es gibt ein Zahlenpaar (x, y) dass alle drei Ungleichungen erfüllt.
b) Ist y >= 10, so gibt es keine gemeinsame Lösung der drei Ungleichungen.
c) Damit es ein y gibt, so dass (x, y) eine gemeinsame Lösung der drei Ungleichungen ist, muss x > 0 sein.
d) Für alle Zahlenpaare (x, y) gilt: (x, y) und (y, x) können nicht gleichzeitig gemeinsame Lösung der drei
Ungleichungen sein.
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Aufgabe 3 (Quantoren)
Sei f ∶ R → R, y = f (x) eine Funktion, wie Sie sie aus der Schule kennen.
Übersetzen Sie nun folgende Aussageformen/Aussagen in die Sprache der Logik mit Hilfe von Quantoren.
a) Für jedes y gibt es ein x so dass f (x) = y.
b) Ist f (x1 ) = f (x2 ) dann ist x1 = x2 .
c) Es gibt mindestens zwei verschiedene x mit f (x) = 0.
d) Es gibt genau ein x mit f (x) = 0.
e) Für jedes x gibt es genau ein y mit f (x) = y.
f) Es gibt ein Maximum, also es gibt ein x1 so dass f (x) ≤ f (x1 ) ist für alle x.
g) Wenn für alle x gilt f (x + 1) = f (x) + 1, dann gibt es ein x mit f (x) = 0.
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UZH Institut für Mathematik, Dr. C. Albertini
Abgabe 24.03.2017 , 8:00 Uhr
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Aufgabe 4 (Logische Schlüsse I)
Prüfen Sie die Korrektheit des nachstehenden logischen Schlusses; übersetzen Sie ihn in eine aussagenlogische
Aussageform und geben Sie dabei an, welche Bedeutung die verwendeten Variablen haben.
Prämisse 1: Wenn es Freitag ist, gibt es Kuchen.
Prämisse 2: Entweder gibt es Kuchen, oder man isst Salat.
Konklusion: Freitags isst man keinen Salat.
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Aufgabe 5 (Logische Schlüsse II)
Prüfen Sie die Korrektheit des nachstehenden logischen Schlusses; übersetzen Sie ihn in eine aussagenlogische
Aussageform und geben Sie dabei an, welche Bedeutung die verwendeten Variablen haben.
Prämisse 1: Wenn heute in der Migros Peperoni Aktion sind, dann sind sie morgen im Coop Aktion.
Prämisse 2: Wenn morgen im Coop Peperoni nicht Aktion sind, dann ist heute Dienstag.
Prämisse 3: Entweder ist heute Dienstag, oder die Peperoni sind gammelig.
Konklusion: Wenn heute Dienstag ist, dann sind die Peperoni entweder gammelig oder Aktion in der Migros.
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Aufgabe 6 (Quantoren I)
Gegeben sind die folgenden prädikatenlogischen Aussageformen über die ganzen Zahlen:
φ(n) ∶ ∣n − 2∣ ⋅ ∣n + 2∣ ≥ 4
und
ψ(n) ∶ n2 > n
Vereinfachen Sie die folgenden Formeln weitmöglichst (arithmetisch und logisch) und geben Sie an, ob die
Aussagen wahr oder falsch, beziehungsweise die Aussageformen allgemeingültig, teilgültig oder unerfüllbar sind.
a) ¬[∃n φ(n)]
1
b) ¬[∀n ψ(n + 1)]
1
c) ¬[∃n [φ(n + m) → ψ(n − m)]
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5
Aufgabe 7 (Quantoren II)
Wir wollen uns Punkt 3. aus dem Buch auf Seite 30 etwas genauer ansehen.
Sei
φ(x) ∶ x ist ungerade
Finden Sie eine prädikatenlogische Aussageform ψ(x), so dass gilt
∃x φ(x) ∧ ∃x ψ(x)
aber nicht
∃x [φ(x) ∧ ψ(x)]
Begründen Sie ihre Wahl von ψ.
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Aufgabe 8 (Element und Teilmenge)
Es sei die Menge M ∶= {a, b} gegeben. Welche der folgenden Relationen sind erfüllt? Begründen Sie.
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a) ∅ ∈ ∅
e) ∅ ⊂ {∅}
i) a ⊂ M
m) ∅ ∈ M
b) ∅ ∈ {∅}
f) ∅ = {∅}
j) M ∈ {M }
n) {a, b} ∈ M
c) ∅ ⊂ ∅
g) {b, a} = M
k) M ⊂ {M }
o) b ∈ M ∪ {c}
d) ∅ ⊆ ∅
h) M ⊂ {a, a, b, b}
l) a ∈ {{∅}, {M }}
p) {b} ∈ M
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