4. Übungsblatt - Theoretische Informatik @ Universität Konstanz
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Mathematische Grundlagen der Informatik Universität Konstanz Fachbereich Informatik & Informationswissenschaft WS 2016/2017 Prof. Dr. Sven Kosub / Michael Strecke, Nadja Willenborg 4. Übungsblatt Ausgabe: 18.11.2016 Abgabe: 25.11.2016, bis spätestens 12:00 per Mail an den Tutor Aufgabe 10: Quantifizierte Aussagen 10 Punkte (a) Formalisieren Sie die Aussage: „Für alle natürlichen Zahlen gibt es höchstens eine natürliche Zahl, die um 1 kleiner ist“. (b) Formalisieren Sie die Aussage: „Polynome der Form a · x2 + b · x + c, wobei a, b und c beliebige ganze Zahlen sind, haben höchstens zwei Nullstellen“. (c) Negieren Sie die Aussage: „Entweder werde ich Dichter oder gar nichts“. (d) Negieren Sie die Aussage: „Es gibt einen Schwan mit weißen oder schwarzen Federn“. (e) Negieren Sie die Aussage: „In jedem Land gibt es in jedem Alter mindestens einen Menschen, den niemand kennt“. Aufgabe 11: Aussageformen 10 Punkte Betrachten Sie folgende zusammengesetzte Aussageform mit zwei freien Variablen: Bi (x, y) =def (Ai (x, y) ∧ Ai (y, x)) → x = y, wobei Ai (x, y) eine noch zu spezifizierende Aussageform ist. (a) Geben Sie jeweils ein Universum Ui bestehend aus drei natürlichen Zahlen an, so dass Bi (x, y) durch Einsetzen beliebiger Zahlen aus Ui stets zu einer wahren Aussage wird. Dabei sind die Aussageformen Ai (x, y) wie folgt gegeben: • A1 (x, y) =def x ≤ y • A2 (x, y) =def „x teilt y“ • A3 (x, y) =def (x − y)2 ≥ 5 (b) Betrachten Sie weiterhin die unter Teilaufgabe (a) gegebenen Aussageformen A1 (x, y), A2 (x, y) und A3 (x, y). Für welche zugehörige Aussageform Bi (x, y) können Sie ein Universum U4 mit vier natürlichen Zahlen angeben, so dass Bi (x, y) durch Einsetzen bestimmter Zahlen aus U4 zu einer falschen Aussage wird. Begründen Sie Ihre jeweiligen Wahlen! Aufgabe 12: Beweisregeln (a) Zeigen Sie die Korrektheit der Beweisregel Kettenschluss. 10 Punkte (b) Zeigen Sie die Korrektheit der Beweisregel Indirekter Beweis. (c) Zeigen Sie die Korrektheit der Beweisregel Spezialisierung über jedem aus zwei (verschiedenen) Objekten bestehenden Universum U . (d) Zeigen Sie, dass die Aussage (∀y)[(∀x)[F (y) → G(x, y)] → (F (y) → (∀x)[G(x, y)])] über jedem aus zwei (verschiedenen) Objekten bestehenden Universum U allgemeingültig ist. (e) Zeigen Sie, dass die Aussage (∀y)[F (y) → G(y)] → ((∀y)[F (y)] → (∀y)[G(y)]) über jedem aus zwei (verschiedenen) Objekten bestehenden Universum U allgemeingültig ist.
