16. Charakterisierungen der Ganzteilfunktion

16. Charakterisierungen der Ganzteilfunktion
Praxis der Mathematik 15 (1973), 33-35
1. Die Ganzteilfunktion
Bei der Umwandlung eines unechten Bruches
p
q
Q in eine gemischte Zahl
bedient man sich des Divisionsalgorithmus für natürliche Zahlen. Man gewinnt
dann die Darstellung
p
q
m
r
mit r < q und r, m
q
o.
Dabei ist m die größte ganze Zahl, die kleiner oder gleich
p
ist.
q
Beim Nachweis der Konvergenz einer Folge (an) gegen a kommt es darauf an,
ein N
anzugeben, so daß für alle n > N aus die Ungleichung
an – a <
gilt.
Bei vorgegebenem
> 0 kann man z. B. für an =
1
ein N bestimmen, indem
n
man zur größten ganzen Zahl, die kleiner oder gleich
1
ist, 1 addiert.
In beiden Fällen verwendet man die Ganzteilfunktion (Gauß-Klammer; GAUSS
1876, S. 5). [x] ist für alle reellen Zahlen x definiert als größte ganze Zahl, die
kleiner oder gleich x ist, d.h.
2
[x] = g
für g
x <g + 1.
2. Eigenschaften
In den beiden angeführten Beispielen ist die Ganzteilfunktion lediglich ein
Hilfsmittel zur knappen Ausdrucksweise. Sie kann aber als reelle Funktion
auch selbständiges Interesse im Unterricht beanspruchen.
Zunächst ist sie ein sehr elementares Beispiel einer unstetigen Funktion. Man
kann sie im Analysisunterricht häufig als Gegenbeispiel heranziehen.
Durch Verknüpfungen mit anderen reellen Funktionen erhält man eine Fülle
interessanter Funktionen (SIEGEL 1967).
Treppenfunktionen – also auch die Ganzteilfunktion – lassen sich darstellen als
Linearkombinationen von charakteristischen Funktionen (FLACHSMEYER
1970).
Darüber hinaus besitzt [x] eine Reihe leicht zugänglicher Eigenschaften, die
mit Hilfe der Definition oder des Graphen von den Schülern selbst gefunden
werden können. Dafür seien einige Beispiele gegeben.
Die Funktion f(x) = [x] hat die Eigenschaften:
(1)
f ist eine surjektive Abbildung von
(2)
f(f(x)) = f(x) für alle x
nach .
,
d.h. f ist idempotent.
(3)
f(x)
(4)
Wenn x
x für alle x
.
y, dann f(x) f(y) für alle x, y
,
d.h. f ist monoton wachsend.
(5)
f(x) = x genau dann, wenn x
für alle x
.
3
(6)
f(f(x) + f(y)) = f(x) + f(y) für alle x,y
(7)
f(x + y)
(8)
Wenn 0 x, dann 0
f(x) + f(y) für alle x,y
.
f(x) für alle x
.
.
Einige dieser Eigenschaften lassen sich in naheliegender Weise als Eigenschaften des Graphen geometrisch deuten.
(3) besagt z. B., daß kein Punkt des Graphen oberhalb der 1. Winkelhalbierenden liegt.
(5) besagt, daß von der 1. Winkelhalbierenden genau die Gitterpunkte zum
Graphen gehören.
Bei den Beweisen der Eigenschaften kann man die Nachweisebene variieren.
Man kann unmittelbar am Graphen argumentieren, man kann direkt auf die
Definition zurückgreifen, und man kann unter Umständen neue Eigenschaften
aus bereits bewiesenen folgern. In jedem Fall ergibt sich die Möglichkeit einer
differenzierenden Behandlung im Unterricht.
Im Hinblick auf die angeführten Eigenschaften erscheint es reizvoll, die Ganzteilfunktion mit der Betragsfunktion zu vergleichen (VOLLRATH 1971) und
Analogien und Unterschiede hervorzuheben.
3. Charakterisierungen
Ein grundlegendes mathematisches Verfahren ist die Charakterisierung von
Gegenständen aus ihren Eigenschaften. Für die Proportionalität sind im Hinblick auf den Unterricht mehrere Charakterisierungsmöglichkeiten gegeben
worden (ILSE 1971).
Es ist leicht möglich, auch für die Ganzteilfunktion charakterisierende Eigenschaften aus dem Katalog (1) - (8) anzugeben, so daß sich hier die Möglichkeit
einer exemplarischen Behandlung der Charakterisierungsmethode ergibt. Das
4
Beispiel scheint mir für den Unterricht besonders geeignet zu sein, da die
Schüler leicht selbst zahlreiche Varianten angeben können.
Die Fragestellung läßt sich motivieren mit Hilfe des „Steckbriefproblems“ oder
in der Mengensprache durch Suche der charakterisierenden Aussageform.
Grundmenge ist die Menge der reellen Funktionen, freie Variable ist f. Haben
wir zunächst f in (1) - (8) als Name für die Ganzteilfunktion verwendet, so
deuten wir f jetzt als Variable. Damit werden (1)- (8) zu Aussageformen. Es ist
die Aufgabe gestellt, mit Hilfe von möglichst wenigen Aussageformen aus
{(1),..., (8)} durch Konjunktion eine charakterisierende Aussageform zu gewinnen.
Dabei ist es sogar erwünscht, daß die Schüler zunächst Zusammenstellungen
von Aussageformen wählen, die nicht unabhängig sind. Denn damit ist der
Ansatzpunkt zu Unabhängigkeitsbeweisen gegeben, die mit Modellen geführt
werden können, die auch von den Schülern selbst gefunden werden können.
Wir werden folgende Beispiele benutzen:
(a)
f(x) = x,
(b)
f(x) = kleinste ganze Zahl größer oder gleich x,
(c)
f(x) =größte ganze Zahl kleiner als x,
(d)
f(x)
x für x Z,
[x] 1 sonst.
1
(x+g) für g x < g+1, g
.
2
Einige mögliche unabhängige Systeme von Aussageformen zur Charakterisierung der Ganzteilfunktion sollen jetzt angegeben werden. Wir betrachten nur
reelle Funktionen.
(e)
f(x)=
Satz 1. (1)
(2)
(3)
(4) gilt genau dann, wenn
f(x) = [x].
x
Beweis:
Die Ganzteilfunktion hat diese Eigenschaft.
5
Ist umgekehrt g
, dann gibt es nach (1) ein x
mit f(x) = g.
Aus (2) folgt daraus f(f((x))=f(x), also f(g)= g.
Ist x
, dann gibt es ein g
mit g < x < g + 1. Daraus folgt nach (4)
f(g) f(x). Mit f(g) = g ergibt das
g
f(x)
x < g + 1.
(3)
Mit (1) folgt daraus f(x) = g.
Die Unabhängigkeit zeigt man für (1) mit (a), für (2) mit (c), für (3) mit (b), für
(4) mit (d).
Satz 2. (2)
(3)
(5) gilt genau dann, wenn
(4)
f(x) [x].
x
Beweis: [x] hat diese Eigenschaft.
Umgekehrt ist für g
nach (5) f(g) = g.
!
Ist x
, dann gibt es ein g
mit g < x < g + 1. Wegen (4) ergibt sich
f(g) f(x), also wie eben g f(x).
"
!
#
#
Andererseits ist nach (3) f(x)
x, also erhält man
#
g
#
f(x)
#
x < g+l.
Wegen (2) ist f(f(x)) = f(x), also muß nach (5) f(x)
sein, das liefert f(x) = g.
!
Die Unabhängigkeit ergibt sich für (2) mit (c), für (3) mit (b), für (4) mit (d),
für (5) mit (a).
Satz 3. (3)
(4)
(5)
(6) gilt dann genau, wenn
f(x) = [x].
x
Beweis: [x] hat diese Eigenschaft.
Umgekehrt brauchen wir nur zu zeigen, daß sich (2) aus (5) und (6) ergibt,
dann kann man auf den Beweis von Satz 2 zurückgreifen. Es gilt
f(f(x)) = f(f(x) + 0) = f(f(x) + f(0)) = f(x) + f(0) = f(x).
(5)
(6)
(5)
6
Die Unabhängigkeit ergibt sich für (3) mit (b), für (4) mit (d), für (5) mit (a),
für (6) mit (c).
'
Satz 4. (5)
&
(6)
&
(7)
(8) gilt genau dann, wenn
&
f(x) = [x].
x
(
)
Beweis: [x] hat diese Eigenschaft.
Umgekehrt zeigen wir zunächst, daß sich aus (7) und (8) die Aussageform
(4) folgern läßt.
Ist x
*
+
y, dann gibt es ein z
mit y = z + x.
0
+
f(z) + f(x)
f(z + x) = f(y) und f(z) 0
(7)
%
*
ergeben nach (8)
f(y) f(z) + f(x)
%
%
f(x),
also gilt (4).
In Satz 3 haben wir bereits nachgewiesen, daß sich (2) aus (5) und (6) folgern
läßt.
Sei nun g
*
x < g + 1 mit g
, dann folgt aus (4) und (5)
+
g = f(g)
Falls x
+
Q, x
$
p
, p
q
Z, q
+
p
$
f(x).
N, folgt aus (7) mit vollständiger Induktion
+
f(p)
*
p
f(q · )
q
$
(5)
%
p
q · f ( ),
q
also
x
$
p
q
%
p
f( )
q
$
f(x).
7
Das ergibt
g f(x)
,
Aus (2) und (5) folgt f(x)
-
x < g + 1.
,
, also muß dann f(x) = g sein.
Falls x
ist, muß es eine rationale Zahl r geben mit g < x < r <g+1. Nach
unseren vorangegangenen Überlegungen muß f(r) = g sein. Mit (4) ergibt sich
dann
.
g
,
f(x)
,
f(r) = g,
also f(x) = g.
Damit ist für alle x
-
mit g
,
x < g +1 für g
-
f(x) = g.
Die Unabhängigkeit ergibt sich für (5) mit (a), für (6) mit (e), für (7) mit (b),
für (8) mit (d).
Literatur
Flachsmeyer, J., Kombinatorik, 2. Aufl., Berlin 1970
Gauss, Werke II, S.5, Göttingen 1876.
Ilse, D., Über funktionale Charakterisierungen der direkten Proportionaltät f(x)= cx, Math. i.d.
Sch. 9, 16-37 (1971)
Siegel,H., Funktionen von x und [x], PM 9 (1967), 89-94
Vollrath, H.-J., Eine Analyse der Betragsfunktion, MNU 24 (1971), 360-364