1 Aussagenlogik und Mengenlehre

1
Aussagenlogik und Mengenlehre
1.1
Mengenlehre
Definition (Georg Cantor): Unter einer Menge verstehen wir jede Zusammenfassung M von
bestimmten wohl unterschiedenen Objekten (m) unserer Anschauung oder unseres Denkens (welche die Elemente von M genannt werden) zu einem Ganzen.
Notation: Wir beschreiben eine Menge durch Auflistung in geschweiften Klammern, wenn
das Bildungsgesetz klar ist. Wir schreiben x ∈ M falls x ein Element der Menge ist, andernfalls x ∈
/ M.
Beispiel:
∅
N = {1, 2, 3, . . .}
N0 = {0, 1, 2, 3. . . .}
Z = {0, ±1, ±2, ±3, . . .}
A
die leere Menge
die Menge aller natürlichen Zahlen (ohne 0)
die Menge der natürlichen Zahlen (mit 0)
die Menge der ganzen Zahlen
die Menge aller Autos
Definition: Zwei Mengen sind gleich, wenn sie dieselben Objekte/Elemente enthalten.
Bemerkung: In einer Menge treten Elemente nicht mehrfach auf und die Reihenfolge ist
gleichgültig. Also gilt z.B. {1, 2, 3} = {1, 2, 2, 3} = {3, 1, 1, 2}, aber {1} 6= {{1}}.
Definition: 1) Eine Aussage ist ein sprachliches Konstrukt, welchem eindeutig entweder der
Wahrheitswert “wahr” oder der Wahrheitswert “falsch” zugeordnet werden kann.
2) Eine Aussageform ist ein sprachliches Konstrukt mit Variable(n), aus dem nach Einsetzen
in die Variable(n) (in jedes Vorkommen der Variablen gleichen Namens mit dem gleichen
Wert) aus einer Grundmenge U (dem “Universum”) eine Aussage wird.
Somit haben wir eine weitere Möglichkeit Teilmengen von U zu beschreiben, nämlich diejenigen Elemente von U für die eine Aussageform wahr ist:
{ x ∈ U | A( x )}
gelesen als: “Die Menge aller Elemente in U , für die A( x ) wahr ist”.
Beispiel:
U = N, 1 = 2
U = Z, 1 < 3
wie geht es?
U = N, x ist
eine gerade
Zahl
x ist grün
falsche Aussage
wahre Aussage
keine Aussage
Aussageform
keine
Aussageform
(Universum
fehlt)
Bemerkung: Nun gibt es Elemente des Universums, für die eine Aussageform A( x ) wahr
und Elemente für die A( x ) falsch ist.
Zeichnerisch stellen wir die Situation wie folgt dar. Unser Universum U zeichnen wir als
weißes Rechteck ein. Die Elemente von U , für die A( x ) wahr ist, werden eingefärbt und
M
meist durch das Innere eines Kreises symbolisiert:
U
Für eine Aussage(form) A( x ) bezeichnen wir die gegenteilige Aussage mit ¬ A( x ) (nicht
A( x )). ¬ A( x ) ist also genau dann wahr, wenn A( x ) falsch ist und falsch, wenn A( x ) wahr
ist.
Entsprechungen von Mengenlehre und Aussagenlogik
Mengenlehre
Aussagen
logik
M
U
Die Allmenge
W (x)
Die universell
wahre
Aussageform
U
Menge
x∈M
die
leere
Menge
F(x)
M=
{ x ∈ U | A( x )}
Die univers.
falsche
Aussageform
Das
Komplement
Mc
x∈
/M
M
∅
M
U
Mc =
{ x ∈ U |¬ A( x )}
Haben wir nun zwei Aussageformen A( x ) und B( x ) , so können wir diese zu einer neuen
Aussageform verknüpfen:
A( x ) ∧ B( x ) (A( x ) und B( x )) ist genau dann wahr, wenn A( x ) und B( x ) beide wahr sind.
A( x ) ∨ B( x ) (A( x ) oder B( x )) ist genau falsch, wenn A( x ) und B( x ) beide falsch sind.
A( x )
B( x )
w
w
f
f
w
f
w
f
A( x ) ∧ B( x )
w
f
f
f
A( x ) ∨ B( x )
w
w
w
f
¬ A( x )
f
f
w
w
Zeichnerisch sieht das wie folgt aus: Die linke Menge sei M = { x ∈ U | A( x )} und die rechte
Menge N = { x ∈ U | B( x )}.
Mengenlehre
Aussagenlogik
M N
U
M∩N
= { x ∈ U | A( x ) ∧ B( x )}
M N
U
M∪N
= { x ∈ U | A( x ) ∨ B( x )}
Ist M = N , so stimmen die Wahrheitswerte von A( x ) und B( x ) in jedem x ∈ U überein, die
beiden Aussageformen A( x ) und B( x ) heißen dann
äquivalent und wir schreiben:
A( x ) ⇔ B( x ) in U
Wie können die beiden Mengen M und N nun verschieden sein? Es gibt vier verschiedene
Fälle:
M
N
N
M
U
N⊂M
M N
M
U
M ∩ N 6= ∅
U
M⊂N
U
M∩N = ∅
N
In den ersten beiden Fällen schreiben wir auch:
B( x ) ⇒ A( x ) in U (oben links)
(Der Wahrheitsbereich von B( x ) liegt komplett im Wahrheitsbereich von A( x ), { x ∈
U | B( x )} ⊂ { x ∈ U | A( x )})
A( x ) ⇒ B( x ) in U (oben rechts)
(Der Wahrheitsbereich von A( x ) liegt komplett im Wahrheitsbereich von B( x ),{ x ∈
U | A( x )} ⊂ { x ∈ U | B( x )})
Wenn aus dem Kontext klar ist, welches Universum U gemeint ist, läßt man das “in U ” auch
wegfallen.
Beispiel:
N
M
U
Im Bild ist das Komplement von N grau eingezeichnet. Liegt nun M komplett in N ( M ⊂ N )
, so ist das Komplement von M “größer” als das Komplement von N. Es gilt also N c ⊂ Mc
oder anders gesagt:
¬ B( x ) ⇒ ¬ A( x )
Umgekehrt gilt das natürlich auch. Also haben wir:
[ A( x ) ⇒ B( x )] ⇔ [¬ B( x ) ⇒ ¬ A( x )]
1.2
Quantoren
Sei M ⊂ U . Wenn wir ausdrücken wollen, daß eine Aussageform A( x ) wahr ist für (ausnahmslos) alle Elemente von M wahr ist, so schreiben wir:
∀ x ∈ M : A( x )
Die Verneinung hiervon ist die Tatsache, daß es (mindestens) ein x ∈ M gibt, so daß A( x )
falsch ist:
∃ x ∈ M : ¬ A( x )
Beispiel: Statt
A( x ) ⇒ B( x ) in U
können wir auch schreiben:
∀ x ∈ U : A( x ) → B( x )
Dabei ist A( x ) → B( x ) durch die folgende Wahrheitstabelle gegeben:
A( x )
B( x )
w
w
f
f
w
f
w
f
A( x ) → B( x )
w
f
w
w
Das kann man nun wie folgt einsehen: A( x ) ⇒ B( x ) in U ist falsch, wenn es ein a gibt, so
daß A( a) wahr und B( a) falsch ist:
∃ a : A( a) ∧ ¬ B( a)
Die Verneinung hiervon ist:
∀ a : ¬( A( a) ∧ ¬ B( a))
Wenn man sich die Wahrheitstabelle ansieht, erkennt man, warum man → so definiert:
A( a)
B( a)
w
w
f
f
w
f
w
f
A( a) ∧ ¬ B( a)
f
w
f
f
¬( A( a) ∧ ¬ B( a))
w
f
w
w
Funktionen
Definition: Eine Funktion f ordnet jedem Element des Definitionsbereiches D genau ein
Element des Wertebereiches W zu, dabei sind Definitions- und Wertebereiche Mengen (hier
meist Teilmengen von R). Schreibweise:
f :D→W
x 7→ f ( x )
Definition: Für eine Funktion f mit Definitionsbereich D und Wertebereich W heißt:
Bild( f ) := {w ∈ W | ∃ x ∈ D : f ( x ) = D } ⊂ W
Graph( f ) := {( x, y) | y = f ( x )}
Für eine Teilmenge U ⊂ U heißt
f −1 (U ) : = { x ∈ D | ∃ y ∈ W : f ( x ) = y }
Das Urbild von U unter f . Für jede Teilmenge V ⊂ D heißt die Abbildung f : V → W die
Einschränkung von f auf V, f | D .
Definition: Zwei Funktionen f 1 : D1 → W1 und f 2 : D2 → W2 sind gleich, wenn D1 = D2
und W1 = W2 und für alle x ∈ D1 gilt: f 1 ( x ) = f 2 ( x ).
Definition: Sei f : D → W eine Funktion. Dann gilt:
f ist injektiv :⇔ ∀ x1 , x2 ∈ D : f ( x1 ) = f ( x2 ) ⇒ x1 = x2
f ist surjektiv :⇔ ∀y ∈ W ∃ x ∈ D : y = f ( x )
f ist bijektiv :⇔ f ist surjektiv und injektiv
Beispiel: Die Funktion f : R6=0 → R6=0 , x 7→
1) injektiv: Ist f ( x1 ) = f ( x2 ), so ist
liefert: x1 = x2
1
x1
=
1
x ist bijektiv,
1
x2 . Eindeutigkeit
der multiplikativen Inversen
2) surjektiv: Zu jedem a ∈ R6=0 gibt es das multiplikative Inverse a−1 = 1a . Dann ist f ( a−1 ) =
1
= ( a−1 )−1 = a.
a −1
Bemerkung: Ist f : D → W injektiv, so ist f : D → Bild( f ) bijektiv. Bijektive Abbildungen
besitzen eine Umkehrabbildung f −1 : W → D, f −1 (y) = x :⇔ y = f ( x )
Definition: Ist K ein angeordneter Körper und D ⊂ K, so ist f : D → K (streng) monoton
steigend/fallend, wenn für alle x1 , x2 ∈ D mit x1 < x2 gilt: f ( x1 ) ≤ (<) f ( x2 ) bzw. f ( x ) ≥
(>) f ( x2 ). (Siehe Anhang A).