Aufgabenblatt 1 - Institut für Mathematik

Grundbegriffe der Mathematik
MA S400
Aufgabenblatt 1
Frühlingssemester 2017
Aufgabenblatt 1
40 Punkte
Aufgabe 1
Welche der folgenden Ausdrücke sind Aussagen, welche sind Aussageformen und welche sind Terme, welche
nichts von den dreien? Geben Sie jeweils eine Begründung an. Begründen Sie bei den Aussagen, ob sie wahr
oder falsch sind.
√
√
a) Die Zahl 3 hat den Wert π/2 + 2/10 + 0.0198331245366712.
b) a + 2 ⋅ b − x.
c) x − y ist kleiner als x − z 2 .
d) Es gibt genau zwei gerade Primzahlen.
e) (((x + (1 ⋅ (y + 1 + z ⋅ (5 + 7 ⋅ y)) ⋅ y)) + y) + 1 − x
f) Für je zwei verschiedene natürliche Zahlen n und m gilt (n − m)/(m − n) = −1.
g) Jede irrationale Zahl x ist mindestens 0.15 von einer ungeraden Zahl entfernt.
h) Wenn 4 − 1 = 1, dann 1 + 2 = 3.
4
Aufgabe 2
Ersetzen Sie in den nachstehenden Formeln die logischen Symbole durch Ausdrücke der Umgangssprache. (Die
Variablen stehen dabei für beliebige reelle Zahlen – also x, y, z ∈ R).
a) ∃x [y = −x2 + 4x − 1]
2
b) ∀x ∃y [∣x − y∣ < 0 → 3 + 4 = 5]
2
4
Aufgabe 3
Drücken Sie die folgenden Aussagen bzw. Aussageformen mit Hilfe logischer Symbole aus. (Die Zugehörigkeit der
Zahlen zur Grundmenge muss nicht angegeben werden. Das heisst, Sie brauchen nicht zu schreiben “∀c (c ∈ R)”).
Seien c, s ∈ R und m, n ∈ N.
a) Für jede Zahl c ∈ [−1, 1] gibt es eine Zahl s mit c2 + s2 = 1.
2
b) Es gibt Zahlen n und m, so dass n2 + n2 = m2 .
2
c) Sind sowohl n + m als auch n ⋅ m gerade, dann sind schon n und m gerade
2
6
Aufgabe 4
Für sämtliche Ausdrücke der Aufgaben 2 und 3 gebe man an, welche Variablen frei und welche gebunden
vorkommen. Bei Aussagen bestimme man, ob sie wahr oder falsch sind. Im Falle von Aussageformen entscheide
man ob sie allgemeingütlig, teilgütlig oder unerfüllbar sind.
Zur Erinnerung:
Eine Aussageform ist teilgültig, wenn sie Lösungen hat, aber nicht allgemeingültig ist. Eine Aussageform ist
unerfüllbar, falls sie keine Lösung besitzt.
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Aufgabe 5
Bestimmen Sie je die Wahrheitstafel:
a) (¬q → p) ∧ (¬p → ¬q)
UZH Institut für Mathematik, Dr. C. Albertini
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Abgabe ??.??.2017 , 8:00 Uhr
Grundbegriffe der Mathematik
MA S400
Aufgabenblatt 1
Frühlingssemester 2017
b) [p ∧ (q ∨ r)] ↔ [(p ∧ q) ∨ r]
2
c) Bei den Ausdrücken (p ∨ q) ∨ r und p ∨ (q ∨ r) können wir die Klammern dank dem Assoziativgesetz
weglassen.
Begründen Sie mit Aufgabe 5 b) warum wir das bei dem Ausdruck p ∧ (q ∨ r) nicht ohne Weiteres dürfen.
2
6
Aufgabe 6
Beurteilen Sie mittels Wahrheitstaflen welche der folgenden Aussageformen Tautologien und welche Kontradiktionen sind.
a) ¬p ∨ (q → p) ∨ ¬q.
2
b) ¬(q ∨ ¬p) ∧ (p → q).
2
c) ¬(¬p ∨ ¬q) ∨ (q → (p >−< q)).
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6
Aufgabe 7
Es gibt genau 16 verschiedene Wahrheitstafeln zu zwei Variablen p, q. Das heisst, wenn wir 17 verschiedene
logische Aussageformen in zwei Variablen p und q haben, so stimmen mindestens zwei davon überein.
Eine der 16 möglichen Tafeln ist
p
0
0
1
1
↓
1
0
0
0
q
0
1
0
1
An der Tafel sehen wir, dass somit p ↓ q ⇔ ¬(p ∨ q). Interessanterweise ist es möglich, alle 16 dieser möglichen
Tafeln nur mit dem Operator ↓ und den Variabeln p und q zu schreiben.
Ordnen Sie jeder der noch übrigen 15 Tabellen einer solchen Aussageform zu.
a)
b)
p
0
0
1
1
q
0
1
0
1
p
0
0
1
1
q
0
1
0
1
p
0
0
1
1
q
0
1
0
1
0
0
0
0
f)
c)
p
0
0
1
1
q
0
1
0
1
p
0
0
1
1
q
0
1
0
1
p
0
0
1
1
q
0
1
0
1
0
0
1
0
g)
0
1
0
0
k)
q
0
1
0
1
p
0
0
1
1
q
0
1
0
1
p
0
0
1
1
q
0
1
0
1
1
1
1
0
h)
1
0
1
0
l)
1
1
0
0
d)
p
0
0
1
1
q
0
1
0
1
p
0
0
1
1
q
0
1
0
1
p
0
0
1
1
q
0
1
0
1
0
1
0
1
i)
0
0
0
1
m)
0
1
1
0
e)
p
0
0
1
1
q
0
1
0
1
1
0
1
1
p
0
0
1
1
q
0
1
0
1
0
1
1
1
p
0
0
1
1
q
0
1
0
1
1
1
1
1
j)
1
1
0
1
n)
1
0
0
1
p
0
0
1
1
o)
0
0
1
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Abgabe ??.??.2017 , 8:00 Uhr