Vokabelliste Logik

Vokabelliste Logik
(bis einschließlich Kapitel 12)
Vorbemerkung: Die folgenden Erläuterungen sind nicht sauber formatiert, sollten aber
selbsterklärend sein. Blaue Begriffe fallen unter den optionalen Bereich (es sind aber nicht alle
optionalen Kapitel enthalten).
Begriff
Logik
Erklärung
•
Lehre vernünftiger Argumentation
•
Bezeichnet genau ein tatsächlich existierendes Ding
•
auch: „Namen“
•
ein Ding kann mehr als einen (oder auch gar keinen) Namen tragen
•
Drücken eindeutige Eigenschaften von Dingen (oder Relationen
zwischen diesen) aus
•
Jedes Prädikat hat eine eindeutige Stelligkeit (A(x) oder B(x,y) etc.)
•
werden immer groß geschrieben
•
Prädikat der Stelligkeit n mit n Individuenkonstanten
•
Reihenfolge der Individuenkonstanten ist entscheidend
•
Bilden aus Individuenkonstanten und singulären Termen neue Terme
•
synonym: komplexe Terme
•
werden genau wie Namen verwendet
•
Beispiel: vatervon(max)
•
werden immer klein geschrieben
•
(kommen in der Klötzchensprache nicht vor)
Argument
•
Folge von Aussagen, in welcher eine Aussage (die Konklusion) aus den
anderen (den Prämissen) folgen soll
Gültigkeit
•
Ein Argument ist gültig, wenn die Konklusion unter allen Umständen
wahr sein muss, unter denen die Prämissen wahr sind.
•
Eine gültige Folgerung nennen wir logische Folgerung
•
Ein Argument ist korrekt, wenn es gültig ist und alle seine Prämissen
wahr sind
Aussagenlogik
Individuenkonstante
Prädikatsymbole
Atomare Sätze
Funktionssymbol
e
Korrektheit
Beweis
•
Schrittweise Herleitung, dass eine Aussage S von den Prämissen
P1,...,Pn gültig ableitbar ist
•
informelle und formelle Beweise unterscheiden sich hinsichtlich ihres
Stils, nicht aber ihrer Striktheit
Gegenbeweis
•
Gegenbeispiel, bei dem die Prämissen wahr und die Konklusion falsch
ist
Identitätsrelation
•
Entspricht dem Gleichheitszeichen „=“
•
vier Prinzipien:
◦ Ununterscheidbarkeit d. Identischen (x=y bedeutet: was für x gilt,
gilt auch für y)
◦ Reflexivität (x=x ist immer wahr)
◦ Symmetrie (wenn x=y dann y=x)
◦ Transitivität (wenn x=y und y=z dann x=z)
„F“ → FitchSystem
•
Ein deduktives System zum formalen Beweisen von Argumenten
Boolesche
Junktoren
•
Junktoren sind wahrheitsfunktional: die Wahrheitswerte mittels
Junktoren aufgebauter komplexer Sätze hängt allein von den
Wahrheitswerten der Sätze ab, aus denen er aufgebaut ist
•
Es gibt Negation, Konjunktion, Disjunktion, Implikation (Konditional)
und Äquivalenz (Bikonditional)
•
Verneint die Aussage, vor der er steht
•
atomare und negierte atomare Sätze heißen Literale
•
doppelte Negation bedeutet Bejahung
•
A & B ist genau dann wahr, wenn A und B beide wahr sind
•
übersetzt auch aber, jedoch, hingegen, dennoch, außerdem
Disjunktion
•
A v B ist genau dann wahr, wenn entweder A oder B (oder beide) wahr
sind
Konditional
•
Der Satz P → Q ist genau dann falsch, wenn P wahr und Q falsch ist.
•
Lässt sich substituieren durch nicht-P v Q
•
übersetzt wenn P, dann Q; Q, wenn P; P nur dann, wenn Q; gegeben
dass P, Q
•
Sofern nicht P, Q und Q, es sei denn P wird mit nicht-P → Q übersetzt
•
Q folgt genau dann logisch aus P1, … , Pn, wenn (P1 & … & Pn) → Q
eine logische Wahrheit ist
•
Der Satz P ↔ Q ist genau dann wahr, wenn P und Q den gleichen
Wahrheitswert haben
Negationszeichen
Konjunktion
Bikonditional
•
Lässt sich substituieren durch (P → Q) & (Q → P) bzw. (P & Q) v
(nicht-P & nicht-Q)
De Morgansche
Gesetze
•
nicht-(P & Q) ist äquivalent zu nicht-P v nicht-Q
•
nicht-(P v Q) ist äquivalent zu nicht-P & nicht-Q“
Tautologien
•
S ist genau dann eine Tautologie, wenn S in jeder Zeile seiner
vollständigen Wahrheitstafel den Wert „wahr“ unter seinem
Hauptjunktor hat
•
Beispiel: Tet(a) v nicht-Tet(a)
•
Jede Tautologie ist logisch notwendig
•
Es gibt auch logische Notwendigkeiten, die keine Tautologien sind
Logische
Notwendigkeit
◦ Beispiel: nicht-(Larger(a,b) & Larger(b,a))
◦ diese logischen Notwendigkeiten ergeben sich aus der Bedeutung
der verwendeten Ausdrücke
WahreitstafelMöglichkeiten
•
S ist WT-möglich, wenn er in mindestens einer Zeile seiner
Wahrheitstafel den Wert „wahr“ unter seinem Hauptjunktor hat
Tautologische
Äquivalenz
•
S und S' sind genau dann tautologisch äquivalent, wenn sie unter ihrem
Hauptjunktor in jeder Zeile der gemeinsamen Wahrheitstafel den selben
Wert haben
Logische
Äquivalenz
•
Wenn S und S' tautologisch äquivalent sind, sind sie es auch logisch
•
Es gibt auch logische Äquivalenzen, die nicht tautologisch sind
◦ diese logische Äquivalenz ergibt sich aus der Bedeutung der
verwendeten Ausdrücke
Tautologische
Folgerung
•
Q ist eine tautologische Folgerung aus P1, … , Pn genau dann, wenn in
jeder Zeile einer gemeinsamen Wahrheitstafel, in der alle P1, … , Pn
den Wert „wahr“ erhalten, auch Q den Wert „wahr erhält
Logische
Folgerung
•
Wenn Q eine tautologische Folgerung aus P1, … , Pn ist, ist Q auch
eine logische Folgerung aus diesen
•
Es gibt auch logische Folgerungen, die nicht tautologisch sind
•
Die Behauptung eines Satzes legt etwas nahe, was durch weitere
Ausführungen der Sprecherin ohne Widerspruch aufgehoben werden
kann
•
Beispiel: „Sie können vorweg Suppe oder Salat wählen.“; denkbar wäre
der Nachsatz „Natürlich können sie auch beides haben.“
Konversitionale
Implikatur
Beweisregeln der Aussagenlogik
Substitution von
Äquivalentem
•
Wenn P und Q logisch äquivalent sind, sind die Sätze, die sich ergeben,
wenn das eine im Kontext eines größeren Satzes für das andere ersetzt
wird, auch logisch äquivalent.
•
Kurz: Wenn S <=> Q, dann gilt auch S(P) <=> S(Q)
•
Ein Satz, in dem alle Vorkommen von „nicht“ direkt auf atomare Sätze
bezogen sind
•
jeder Satz, der nur aus Konjunktionen, Disjunktionen und
Negationszeichen und atomaren Sätzen besteht, kann in die NNF
(mithilfe von deMorganschen Gesetzen und der Elimination von
doppelter Negation) überführt werden
•
(häufig lassen sich diese Sätze noch weiter vereinfachen)
Distributivgesetz
e
•
& distribuiert über v: P & (Q v R) <=> (P & Q) v (P & R)
•
v distribuiert über v: P v (Q & R) <=> (P v Q) & (P v R)
Disjunktive
Normalform
(DNF)
•
Disjunktion von einem oder mehreren Konjunkten von einem oder
mehrerer Literale
•
Beispiel: (P&Q) v (R&S)
•
lässt sich mittels Distribution von & über v erreichen
•
Konjunktion von einem oder mehreren Disjunkten von einem oder
mehreren Literalend
•
Beispiel: (P v Q) & (P v R)
•
lässt sich mittels Distribution von v über & erreichen
•
(manche Sätze sind sowohl in DNF alsauch in KNF, etwa A & nicht-B)
•
Jeder Schritt soll bedeutsam, aber leicht zu verstehen sein
•
folgende Schlussprinzipien dürfen stillschweigend verwendet werden:
NegationsNormalform
(NNF)
Konjunktive
Normalform
(KNF)
Regeln für
informelle
Beweise
◦ Schließe von P&Q auf P
◦ Schließe von Q und Q auf P&Q
◦ Schließe von P auf PvQ
Fallunterscheidun
g
•
Beweis von S aus P1 v … v Pn, indem man S aus jedem der Sätze P1,
… , Pn ableitet
Beweis durch
Widerspruch
•
Um nicht-S abzuleiten, nimmt man S an und beweist einen daraus
folgenden Widerspruch
Inkonsistente
Prämissen
•
Kann man einen Widerspruch aus den Prämissen P1, … , Pn ableiten,
sind sie inkonsistent. Ein solches Argument ist immer gültig, aber
niemals schlüssig! (Aus einem Widerspruch darf man nämlich alles
herleiten)
Unterbeweise
•
Zur Rechtfertigung eines Schrittes im Unterbeweis dürfen vorherige
Schritte des Hauptbeweises (oder eines noch offenen Unterbeweises)
angeführt werden
•
Niemals dürfen aber Schritte aus beendeten Unterbeweisen angeführt
werden, sondern höchstens beendete Unterbeweise als ganze
Vorgehen, wenn
man ein
Argument auf
Gültigkeit prüft
•
Was bedeuten die Sätze?
•
Folgt die Konklusion aus den Prämissen?
•
(Wenn nein:) Gegenbeispiel finden
•
(Wenn ja:) informell beweisen (möglicherweise im Kopf)
•
informellen Beweis als Stütze verwenden, um auf die Struktur des
formellen zu schließen
•
Rückwärts arbeiten, wenn man einen Satz aus einem anderen
deduzieren möchte (dabei aber das Beweisziel nicht aus den Augen
verlieren!)
Beweis ohne
Prämissen
•
Zeigt, dass die Konklusion eine logische Wahrheit ist
•
(Vorgehen: Unterbeweis starten, in dem aus der Verneinung des Satzes
ein Widerspruch abgeleitet wird)
Schlussregeln der
Konditionale
•
Modus Ponens: von P → Q und P darf auf Q geschlossen werden
•
Beseitigung d. Bikonditionals: Von P und P ↔ Q darf auf Q
geschlossen werden
•
Kontraposition: P → Q <=> nicht-Q → nicht-P
•
Um P → Q zu beweisen nimmt man P an und beweist in der Folge Q
(oft im Unterbeweis)
•
Um ein Bikonditional zu beweisen, beweist man P → Q und Q → P
•
hat man mehrere Bikonditionale, reicht es aus, einen Kreis von
Konditionalen zu beweisen, etwa A → B und B → C und C → A
•
Die Behauptung eines Satzes legt etwas nahe, was durch weitere
Ausführungen der Sprecherin ohne Widerspruch aufgehoben werden
kann
•
Beispiel: „Sie können vorweg Suppe oder Salat wählen.“; denkbar wäre
der Nachsatz „Natürlich können sie auch beides haben.“
•
...ist gegeben, wenn sich mit diesen Junktoren jede Wahrheitsfunktion
darstellen lässt.
•
...gilt etwa für die Booleschen Junktoren
•
„Platzhalter“ anstelle von Individuenkonstanten
•
in PL1: t,u,v,w,x,y,z mit und ohne numerischem Subskribt (t1,t2,..., tn)
•
freie Variablen: Variablen, die nicht quantifiziert sind
•
gebundene Variablen: solche, die durch einen Quantor gebunden sind
Konditionaler
Beweis
Konversitionale
Implikatur
Wahrheitsfunktio
nale
Vollständigkeit
Quantoren
Variablen
Quantoren
•
Existenzquantor (E) und Allquantor (A)
•
Quantoren + Variablen + Wffs (s.unten) = Sätze
•
Ein Quantor Ax oder Ex bindet alle Vorkommnisse von x in der ihm
zugeordneten Wff
•
Sätze, denen ein Quantor vorausgeht oder in denen Quantoren
vorkommen
•
Wffs ergeben in Zusammenhang mit Quantoren Sätze, wenn diese alle
vorkommenden Variablen binden, also keine freie Variable vorkommt
•
Aussagen von quantifizierten Sätzen beziehen sich auf einen nichtleeren
intendierten Gegenstandsbereich
•
in Übersetzungen komplexer quantifizierter Sätze kommen oft
Konjunktionen atomarer Prädikate vor
•
Die Wortstellung eines deutschen Satz weicht möglicherweise von der
Anordnung seiner PL1-Übersetzung ab
(atomare)
wohlgeformte
Formeln (Wffs)
•
Ausdrücke, die wie atomare Sätze aussehen, aber anstelle von
Individuenkonstanten Variablen beinhalten (zB. ZuHause(x) oder
Größer(x,max))
Existenzquantor
„E“
•
Ein Satz der Form Ex(S(x)) ist genau dann wahr, wenn die Wff S(x) von
mindestens einem Ding im Gegenstandsbereich erfüllt wird
Allquantor „A“
•
Ein Satz der Form Ax(S(x)) ist genau dann wahr, wenn die Wff S(x)
von jedem Ding im Gegenstandsbereich erfüllt wird
Aristotelischen
Formen
•
Alle P sind Q:
Ax (P(x) → Q(x))
•
Manche P sind Q:
Ex (P(x) & Q(x))
•
Kein P ist ein Q:
Ax (P(x) → nicht-Q(x))*
•
Manche P sind keine Q:Ex (P(x) & nicht-Q(x))
Quantifizierte
Sätze
*alternativ: nicht-Ex (P(x) & Q(x))
Quantoren und
konversitionale
Implikaturen
•
Aus Alle P sind Q folgt nicht, dass es Ps gibt (auch wenn das oft
konversitional impliziert wird)
•
Aus Manche P sind Q folgt nicht, dass nicht alle P auch Q sein können
Algorithmus der
wahrheitsfunktio
nalen Form
•
Ermittelt die wahrheitsfunktionale Form eines Satzes, in dem ein
Quantor vorkommt
•
gibt an, wie dieser Satz aus w'funktionalen Junktoren und aus atomaren
oder quantifizierten Sätzen aufgebaut ist
•
Ein quantifizierter Satz ist genau dann eine Tautologie, wenn seine
w'funktionale Form eine Tautologie ist
•
Jede solche Tautologie ist eine logische Wahrheit, aber es gibt viele
logische Wahrheiten, die keine Tautologien sind
•
(Algorithmus besteht in Unterstreichen von quantifizierten oder
atomaren Formeln, Vergabe von Namen (A,B,C,...) für diese
unterstrichenen „Pakete“ und Rekonstruktion mittels der
vorkommenden Junktoren)
PL1-Wahrheit
PL1-Folgerung
Ersetzungsmetho
de und
Gegenbeispiele
Mehrfache
Quantifikation
(gleichen Typs)
Gemischte
Quantoren
Übersetzungsmet
hode
Mehrdeutigkeit
•
Ein Satz ist PL1-wahr, wenn er auch dann eine logische Wahrheit ist,
wenn man die Bedeutung der Namen, Funktionssymbole und Prädikate
(mit Ausnahme der Identität!) ignoriert
•
Tautologien sind immer PL1-Wahrheiten
•
Ein Satz ist eine PL1-Folgerung aus den Prämissen P1, …, Pn, wenn er
aus diesen Prämissen auch dann logisch folgt, wenn man die Bedeutung
der Namen, Funktionssymbole und Prädikate (mit Ausnahme der
Identität!) ignoriert
•
Tautologien sind immer gültige PL1-Folgerungen
•
Mit der Ersetzungsmethode lassen sich Gegenbeispiele konstruieren,
um nachzuweisen, dass es sich nicht um eine logische Folgerung
handelt
•
(Methode: Ersetzen der Prädikate durch alternative Bedeutungen und
Suche nach einer Situation, in der Prämissen wahr und Konklusion
falsch sind)
•
Achtung: Werden mehrfache Quantoren eingeführt, müssen die
verschiedenen Variablen nicht zwingend auf verschiedene Objekte
beziehen!
•
Beispiel: Ax Ay P(x,y) impliziert auch Ax P(x,x)
•
Bei gemischten Quantoren ist die Reihenfolge der Quantoren
entscheidend!
•
Beispiel: Ax Ey R(x,y) ist nicht logisch äquivalent zu Ey Ax R(x,y)
•
Tipp: Beim Übersetzen eines deutschen Satzes Schritt für Schritt
arbeiten (ein Quantor nach dem anderen)
•
manchmal ist es nötig, die Oberflächenstruktur des Satzes zu verändern.
•
Der Kontext, in dem ein (mehrdeutiger) Satz geäußert wurde, kann für
dessen beste PL1-Übersetzung hilfreich sein, da er die logische Struktur
und so die Reihenfolge der Quantoren festlegen kann.
Beweismethoden und Umformung von Quantoren
Allbeseitugung
•
Ausgehend von AxS(x)kann auf S(c) geschlossen werden, wenn c einen
Gegenstand des Gegenstandsbereichs bezeichnet
Existenzeinführu
ng
•
Ausgehend von S(c) kann auf ExS(x) geschlossen werden, sofern c
einen Gegenstand des Gegenstandsbereichs bezeichnet
DeMorgan für
•
Nicht-Ax P(x) <=> Ex nicht-P(x)
Quantoren
•
nicht-Ex P(x) <=> Ax nicht-P(x)
Existenzbeseitigu
ng/ existentielle
Instantiierung
•
Hat man ExS(x) bewiesen, kann man ein neues Konstantenzeichen c
wählen, das für einen beliebigen Gegenstand steht, der S(x) erfüllt. Also
gilt S(c)
Allgemeine
konditionale
Beweise
•
Ax(P(x) → Q(x)) soll bewiesen werden. Man kann ein neues
Konstantenzeichen c wählen, P(c) annehmen und Q(c) beweisen
•
Q darf dabei keine Namen enthalten, die nach Annahme von P(c) durch
existentielle Instantiierung eingeführt wurden
Universelle
Generalisierung
•
Ax(Sx) soll bewiesen werden. Man kann ein neues Konstantenzeichen c
wählen und S(c) beweisen
•
S(c) darf dabei keine Namen enthalten, die nach Annahme von P(c)
durch existentielle Instantiierung eingeführt wurden