Praktische Informatik I Aufgabenblatt Nr. 14 Aufgabe 1

Prof. Dr. Manfred Schmidt-Schauß
Künstliche Intelligenz/Softwaretechnologie
Fachbereich Biologie und Informatik / Institut für Informatik
Johann Wolfgang Goethe-Universität Frankfurt am Main
Praktische Informatik I
Wintersemester 2001/2002
Aufgabenblatt Nr. 14
Abgabe: Freitag 08. Februar 2002 vor! der Vorlesung
Aufgabe 1: Prädikatenlogische Formeln
Es seien die folgenden Mengen von Variablen, Funktions- bzw. Prädikatsymbolen gegeben:
V = {x, y, z}
F̂ = F̂ (1) ∪ F̂ (2) mit F̂ (1) = {f }, F̂ (2) = {g, h}
P̂ = P̂ (1) ∪ P̂ (2) mit P̂ (1) = {P }, P̂ (2) = {Q}
Begründen Sie, welche der folgenden Ausdrücke prädikatenlogische Formeln sind:
1. ∀x (Q(x, f (y)) =⇒ ∃y P (g(x, y)))
4. ∀x∃y P (x) ⇐⇒ ∃x P (y)
2. ∃x (∀y Q(f (x), y) =⇒ P (h(x)))
5. ∀x ∃y f (x) =⇒ y
3.
¬(P (y) ∧ ∀z (P (z) =⇒ ¬∃y ¬∀x Q(f (g(x, y)), g(f (y), z))))
Aufgabe 2: Freie und gebundene Variable
Versuchen Sie, für jede prädikatenlogische Formel aus Aufgabe 1 die Menge der freien bzw. gebundenen Variablen zu bestimmen. Geben Sie die entsprechenden Unterausdrücke an, falls eine
Variable in einer Formel sowohl frei als auch gebunden vorkommt.
Aufgabe 3: Potenzmenge
Entwerfen Sie eine Funktion pmenge in Haskell, die zu einer gegebenen (endlichen) Menge —
dargestellt als Liste — die Potenzmenge berechnet. Das Ergebnis ist somit eine Menge von
Mengen, jedoch keine Multimenge. Sorgen Sie also dafür, dass ihre Funktion keine gleichen
Elemente doppelt erzeugt und die Funktion bei Eingabe einer Multimenge trotzdem nur eine
Menge zurückliefert.
1
Aufgabe 4: Axiomatische Semantik
Zeigen Sie, daß
> null
= []
> succ x
= 5 : x
> pred (_:x) = x
in Haskell eine korrekte Implementierung entsprechend den in der Vorlesung gegebenen Axiomen
für natürliche Zahlen ist.
Hinweis: Die obigen Namen sind vordefiniert in der Prelude. Um diese Definitionen trotzdem
in ein Haskell-Modul aufnehmen zu können, muß dieses ein
import Prelude hiding (null,pred,succ)
enthalten.
Aufgabe 5: Modelle
Seien P und Q ein- bzw. zweistellige Prädikatsymbole. Beschreiben Sie die Gestalt möglicher
Modelle der Aussagen ∀xP (x) ⇐⇒ ∃xP (x) und ∀x∃y Q(x, y) ⇐⇒ ∃y∀x Q(x, y).
2