Aufgabe 1 Gegeben sei eine i.i.d. Stichprobe X1,...,Xn eines mit

Einführung in die Bayes-Statistik
Prof. Dr. Helga Wagner, Gero Walter
Übungsblatt 1
WiSe 2010/11
Aufgabe 1
Gegeben sei eine i.i.d. Stichprobe X1 , . . . , Xn eines mit unbekanntem Mittelwert
µ und bekannter Varianz σ02 normalverteilten Merkmals. Wählt man als PrioriVerteilung eine Normalverteilung mit Mittelwert m0 und Varianz M0 , so ist die a
posteriori Verteilung eine Normalverteilung mit Mittelwert m1 und Varianz M1 ,
wobei gilt:
m1 =
X̄ · M0 + m0 ·
M0 +
σ02
n
σ02
n
,
M1 =
σ02
n
σ2
M0 + n0
M0 ·
.
a) Bestätigen Sie die Gleichungen für m1 und M1 .
b) Diskutieren Sie jeweils ceteris paribus die Fälle
i) n → ∞
ii) M0 → 0
iii) M0 → ∞,
d.h. geben Sie an, wie sich m1 bzw. M1 verhalten, wenn alle anderen Größen
unverändert bleiben, und interpretieren Sie die Ergebnisse anschaulich!
Aufgabe 2
Seien X1 , . . . , Xn unabhängig und identisch geometrisch verteilt mit Parameter
π, also Xi ∼ G(π), i = 1, . . . , n, d.h. P (X = x) = π(1 − π)x−1 .
a) Bestimmen Sie den ML-Schätzer π̂ML für π.
b) Nehmen Sie nun eine Betaverteilung als Priori-Verteilung für den unbekannten Parameter π an, das heißt, es gelte Xi | π ∼ G(π), i = 1, . . . , n
unabhängig und π ∼ Beta(a0 , b0 ). Bestimmen Sie die Dichte der PosterioriVerteilung von π | X1 , . . . , Xn . Um welchen Verteilungstyp handelt es sich?
Wie lauten die Parameter der Verteilung?
c) Wie lauten Posteriori-Modus und Posteriori-Erwartungswert von π?
d) Für welche Werte von a0 und b0 stimmt der Posteriori-Modus mit dem
ML-Schätzer überein?
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Aufgabe 3 (Datierung von Gestein)
Die ersten zuverlässigen Datierungen der Vulkan-Gesteinsart Granophyr aus dem
Ennerdale, West Cumbria, UK wurden in den 1960er mit der sogenannten K/ArMethode vorgenommen. Mit dieser Methode wurde das Alter des Gesteins auf
370 ± 20 Millionen Jahren geschätzt. Die in den späten 70er Jahren entwickelte
präzisere Rb/Sr-Methode ergab eine Schätzung des Alters von 421 ± 8 Millionen
Jahren.
a) Angenommen, die obigen Messfehler sind normalverteilt, so dass die angegebenen Unsicherheiten den Standardabweichungen entsprechen. Verwenden Sie die Resultate der K/Ar-Methode als Priori-Wissen für die Rb/SrMethode in einem Normal-Normal-Modell (siehe Aufgabe 1) und bestimmen Sie die Posteriori-Verteilung für das Alter des Gesteins.
b) Angenommen, die Resultate K/Ar-Methode stehen Ihnen nicht zu
Verfügung. Beruhend auf Messungen von ähnlichen Gesteinsarten vermuten
Sie jedoch, dass das Alter 400 ± 50 Millionen Jahre ist. Berechnen Sie die
Posteriori-Verteilung für das Alter nach der Rb/Sr-Messung.
c) Stellen Sie für beide Szenarien die jeweiligen Priori- und PosterioriVerteilungen grafisch dar.
Aufgabe 4
iid
Seien X = (X1 , . . . , Xn ) ∼ Binom(n, π). Die Priori-Verteilung für π sei gegeben
durch die Mischung zweier Betaverteilungen:
p(π) = λ · p1 (π | a1 , b1 ) + (1 − λ) · p2 (π | a2 , b2 ),
0 < λ < 1,
wobei pi (π | ai , bi ) für i = 1, 2 jeweils die Dichte der Beta-Verteilung mit Parametern ai und bi ist.
a) Geben Sie die Posteriori-Verteilung p(π | x) an.
b) Berechnen Sie den Posteriori-Erwartungswert.
c) Bestimmen Sie ein gleichendiges (1 − α)-Kredibilitätsintervall, indem Sie
die α/2- und (1 − α/2)-Quantile der Posteriori-Verteilung in R numerisch
berechnen.
d) Testen Sie ihre Resultate für den Fall, dass λ = 0.5, a1 = 10, b1 = 20,
a2 = 20, b2 = 10 und bei 10 Experimenten insgesamt 3 Mal die 0 beobachtet
wurde.
Herzlichen Dank an T. Augustin und M. Höhle für die Bereitstellung von Übungsaufgaben.
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