Grundlagen der Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik für

WS 2007/08
Blatt 11
INSTITUT FÜR STOCHASTIK
UNIVERSITÄT KARLSRUHE
Dr. B. Klar
Übungen zur Vorlesung
Grundlagen der Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik
für Studierende der Informatik
Musterlösungen
Aufgabe 37
Bei n Messungen der Laufzeit eines Algorithmus ergeben sich die zufälligen Werte X1 , . . . , Xn .
Es wird angenommen, dass die Stichprobenvariablen X1 , . . . , Xn unabhängig mit Verteilung
N (ϑ, σ02 ) sind mit unbekanntem Mittelwert ϑ und bekannter Varianz σ02 > 0.
n
1 X
Xi ?
a) Welche Verteilung besitzt das Stichprobenmittel X̄ := ·
n i=1
b) Aufgrund einer Stichprobe x = (x1 , . . . , xn ) vom Umfang n berechne man für γ(ϑ) := ϑ
ein Konfidenzintervall der Form
c · σ0
c · σ0
C(x) := x̄ − √ , x̄ + √
n
n
zum effektiven Konfidenzniveau 1 − α, 0 < α < 1, durch geeignete Bestimmung der
Konstanten c > 0.
c) Bestimmen Sie C(x) unter der Voraussetzung σ02 = 100 im Fall der Stichprobe x =
(514, 497, 508, 520, 509, 520, 509) für α = α1 := 0.05 und für α = α2 := 0.01.
Lösung:
a) Wegen der Faltungsformeln in 11.16 und wegen Satz 9.7 gilt
n
X
1
X̄ =
n
i=1
n
X
i=1
Xi ∼ N (ϑ + . . . + ϑ, σ02 + . . . + σ02 ) = N (n · ϑ, n · σ02 )
Xi ∼ N
1
1
· nϑ, 2 · nσ02
n
n
σ02
= N ϑ,
.
n
b) Gesucht ist ein c > 0 mit
c · σ0
c · σ0
1 − α = Pϑ (ϑ ∈ C(X)) = Pϑ X̄ − √ ≤ ϑ ≤ X̄ + √
n
n
c · σ0
c · σ0
σ
0
= Pϑ ϑ − √ ≤ X̄ ≤ ϑ + √
= Pϑ X̄ − ϑ ≤ √ · c
n
n
n
= 2 · Φ(c) − 1
α
. Nach Kapitel 12.4
2
gilt also c = u1−α/2 , das 1 − α/2-Quantil von N (0, 1). Das gesuchte Konfidenzintervall ist
also
u1−α/2 · σ0
u1−α/2 · σ0
√
√
C(x) = x̄ −
, x̄ +
.
n
n
nach der k · σ-Regel in 9.9 und a), also ein c > 0 mit Φ(c) = 1 −
c) Nach 12.20 d) ist u0.975 = 1.9600 und u0.995 = 2.5758, ferner x̄ = 511. Einsetzen von
σ0 = 10 ergibt für α = 0.05 das Konfidenzintervall
C1 (x) = [503.6, 518.4]
und für α = 0.01 das Konfidenzintervall
C2 (x) = [501.3, 520.7]
Man beachte, dass C2 (x) größer als das Konfidenzintervall C1 (x) ist.
Aufgabe 38
Eine Alpha-Version eines Computerprogramms stürzte bei n = 17 Testläufen x = 11 mal
ab. Die Testläufe waren unabhängig und fanden unter gleichen Bedingungen statt. Geben
Sie ein Konfidenzintervall zum Konfidenzniveau 0.90 für die Wahrscheinlichkeit p an, dass
diese Alpha-Version bei einem Testlauf abstürzt.
Lösung:
Nach Voraussetzung kann wie in Beispiel 18.5 ein ideales Zufallsexperiment mit den zwei
möglichen Ergebnissen Absturz“ (Treffer) und Kein Absturz“ (Niete) und der Trefferwahr”
”
scheinlichkeit ϑ := p angesehen werden. Nach diesem Beispiel und wegen 18.6 ist das gesuchte
Konfidenzintervall [l(x), L(x)], wobei die Konfidenzgrenzen l(x) und L(x) für x = 11 und
n−x = 6 und 1−α = 0.9 Tabelle A.4 entnommen werden. Dies ergibt das Konfidenzintervall
C(x) = [0.420 , 0.834] .
Aufgabe 39
Ein Speichermedium hat N = 800 Sektoren. Von diesen werden 200 zufällig ausgewählt
und überprüft. Dabei stellt sich heraus, dass 18 dieser überprüften Sektoren defekt sind.
Bestimmen Sie ein Konfidenzintervall zum Konfidenzniveau 0.95 für den Anteil defekter
Sektoren auf dem Speichermedium.
Lösung:
Hier ist Beispiel 18.12 (Anteils-Schätzung bei endlicher Population) anwendbar. Es liegen
insgesamt N = 800 Sektoren vor, von denen r (r unbekannt) defekt, die übrigen intakt
sind. Es ist dann Tn = 18/200 = 0.09 der relative Anteil der defekten Sektoren in der
zufälligen Stichprobe vom Umfang n = 200. Mit ϑ := r/N (= unbekannter Anteil der
defekten Sektoren), h := u1−α/2 = 1.9600 und dem Endlichkeitskorrektur-Faktor γ :=
1 − Nn−1
= 0.7509 bilden dann
−1
r
h2
h
h2
Tn +
γ ± √ · Tn (1 − Tn )γ + γ 2
2n
n
4n
2
h
1 +
γ
n
den oberen bzw. unteren Endpunkt eines approximativen (1 − α)–Konfidenzintervalles für
ϑ (= Nr ).
Setzt man die Werte ein, so ergibt sich für den unbekannten Anteil r/N das Konfidenzintervall
C(x) = [0.0612 , 0.1304] .