Klassische Mechanik

Zustände und Observablen in der Mechanik Teil 1
Christian Heftberger
10.1.12
Part I
Klassische Mechanik
1
1.1
Zustandsbegriff in der klassischen Mechanik
Notwendige allgemeine Definition vorab
Phasenraum:= Menge aller möglichen Zustände (daher auch Zustandsraum
genannt), die ein dynamisches (=deterministisches System) einnehmen
kann. Also der Raum, der durch die Variablen des Systems aufgespannt
wird. Im Rahmen der klassischen Physik meist: (p(t), q(t)) Impuls und
Ort.
1.2
Reiner Zustand (Spezialfall)
Der Zustand eines Punktteilchens im dreidimensionalen Raum wird als Punkt
im Phasenraum beschrieben, der durch das Paar (p, q) R6 von Impuls und Ort
festgelegt wird. In einem Mehrteilchensystem wird der Zustand von n Punktteilchen durch einen Punkt im Phasenraum (pi (t), qi (t))R6n beschrieben, wobei
n die Anzahl der Teilchen sein soll. Falls die Ortvariable beliebige Werte annehmen kann, ist die Menge aller möglichen Zustände im Mehrteilchensystem
der gesamte R6n .
Zustände, die durch ein festgelegte Zahlenpaare (p(t), q(t)) bestimmt werden,
sind reine Zustände.
Der Zustand kann also in unserem Fall, als Lösung einer Bewegungsgleichung
verstanden werden, die durch Angabe eines Sets von Anfangsdaten (Ort, Impuls)
festgelegt ist. In der klassischen Mechanik ist es völlig unwesentlich ob im Set
der Anfangsdaten der Ort in Kombination mit Impuls oder Geschwindigkeit
angegeben ist, weil in klassischen Systemen die Masse grundsätzlich als bekannt
angenommen wird. Ist also ein Punkt im Phasenraum gegeben, ist damit die
weitere zeitliche Entwicklung des Systems eindeutig festgelegt.
1
1.3
Gemischter Zustand
Eine Erweiterung des reinen Zustandsbegriffs findet in der statistischen Mechanik
ihren Einschlag. Die Definition des gemischten Zustandes impliziert die Voraussetzungen, die an das Vorliegen eines reinen Zustandes gestellt werden und ist
damit allgemeiner.
Ein Ensemble von reinen Zuständen gegeben in Verbindung mit einer Wahrscheinlichkeitsverteilung ist ein gemischter Zustand .
Beispiel: Harmonische Schwingung; Kreisfrequenz und Amplitude bekannt,
Anfangsphase nicht bekannt =⇒Anfangsphase wird als gleichverteilt im
Intervall 0 ≤ ϕ ≤ 2π angenommen.
Ein gemischter Zustand, bringt also ein gewisses Maß und Unkenntnis zum
Ausdruck. Näheres zu gemischten Zuständen und vor allem eine endgültige
allgemeine Definition des Zustandsbegriffes erfolgt in Teil 2.
2
Observablenbegriff in der klassischen Mechanik
Observable ist in der klassischen Mechanik die Bezeichnung für eine physikalische Messgröße.
Observablen der klassischen Mechanik sind glatte Funtionen f (qi (t), pi (t)), die
zu jeder festen Zeit t einen reellen Wert einnehmen, der eindeutig und beliebig
genau bestimmt ist, wenn qi (t), pi (t) bekannt sind!!
Diese glatte Funktion ordnet also jedem Zustand eine reelle Zahl zu, die
mit dem experimentellen Ergebnis (Messergebnis) ident ist. Das bedeutet:
befindet sich ein System in einem bestimmten Zustand, ist über “Befragung
der Theorie” das Ergebnis der Messung einer Observablen, die zum Zeitpunkt
t stattfindet, vorhersagbar. Jede Observable hat also zu gegebenem Zeitpunkt
einen eindeutigen Wert, der von der Theorie vorhersagbar ist. Dies gilt nicht in
der Quantenmechanik!!
1. Beispiel: f (q, p) soll zum Zeitpunkt to gemessen werden
2. weiters möglich: Kopplung von Messwerten einer Observable, die zu verschiedenen Zeiten gemessen werden −→ x(t1 ) · x(t2 ) - die Möglichkeit eine
Zeitmessung auf eine Ortsmessung und die Unabhängigkeit hintereinander
ausgeführter Messungen gelten nicht in der Quantenmechanik
2.1
Beispiele für Observablen
• V (q1, ....., , qN )
• Impuls, Drehimpuls
X p2
i
+ V (q1 , ...., qN )
2
• Zeitvariable in der klassischen Mechanik immer ein Parameter
und keine Observable!!
• Hamilton-Fkt: H =
2
2.2
Ergebnis
Der Zustand eines Teilchens ist in der klassischen Mechanik eindeutig durch
seinen Ort und und Impuls bzw. Geschwindigkeit bestimmt. Der Wert messbarer Größen (Observablen) kann mit eindeutigem Ergebnis theoretisch vorhergesagt bzw. gemessen werden. Der Zustand legt also die Messwerte bzw. den Wert
der Observablen fest und umgekehrt. In der klassischen Mechanik entstehen in
diesem Zusammenhang keinerlei Probleme.
Part II
Quantenmechanik
In quantenmechanischen Systemen sind Ort und Geschwindigkeit eines Teilchens
nicht so einfach nachzuweisen wie in klassischen Systemen. Es sind lediglich
Aussagen über Orts- bzw. Impulsverteilungen möglich. Damit enstehen weitere
Probleme betreffend klarer Aussagen den Zustand eines Systems betreffend.
Bsp: Streuexperiment wird immer unter den gleichen Bedinungen durchgeführt. Nach Streuvorgang werden auslaufende Teilchen immer an unterschiedlichen
Orten gefunden. ODER: Doppelspaltexperiment
Hier wird deutlich, dass sich Zuständen für jede Observable lediglich Wahrscheinlichkeitsverteilungen als Messergebnisse zuordnen lassen. Dieser Umstand drängt
die Notwendigkeit auf, Observablen und Zustände getrennt zu behandeln und
einen neuen Observablenbegriff einzuführen.
3
Zustands- und Observablenbegriff in der QM
3.1
Observable
Observablen beschreiben die messbaren Eigenschaften eines quantenmechanischen Systems. Die möglichen Messergebnisse einer solchen Observablen sind
„Eigenwerte“ (dieser Observablen). In der QM wird eine Observable mathematisch durch einen selbstadjungierten linearen Operator auf einem Hilbertraum
dargestellt. Dieser Operator wirkt auf Zustandsvektoren.
Was ist ein Hilbertraum?
Ein Hilbertraum ist ein vollständiger Vektorraum mit Skalarprodukt. In der
klassischen Mechanik spannen die Anzahl möglicher Zustände den Phasenraum
auf. In quantenmechanischen Systemen hingegen spannen die möglichen Zustände
den Hilbertraum auf. Also ist der Hilbertraum, der Phasenraum der QM.
• Ortsoperator
• Impulsoperator
• Hamiltonoperator (Energie)
3
3.1.1
Problem: Gleichzeitige Durchführbarkeit von Messungen und
Kompatibilität
Gleichzeitige Messungen sind nur dann kompatibel, wenn sie für Observablen
vorgenommen werden, die kommutativen Operatoren entsprechen. Observablen, die nicht vertauschbar sind, können daher auch nicht gleichzeitig gemessen
werden.
3.2
Eigenzustände
Zu jedem dieser Eigenwerte (der Observablen) gibt es Zustände (Eigenvektoren),
die bei einer Messung immer diesen Eigenwert als Messwert liefern. Dieser Umstand bezieht sich nur auf bestimmte Observable, während für andere Observable das Ergebnis unbestimmt ist.
Ein Eigenzustand (beschrieben durch einen Eigenvektor, Eigenfunktion) einer Observable entspricht also physikalisch betrachtet einem
Zustand, bei dem die Messung der Observablen, mit Sicherheit deren
Eigenwert ergibt. (Eigenvektor⇔Eigenwert)
D.h: existieren zahlreiche Vektoren, die keine Eigenvektoren der Observablen
sind. Es gibt also viele Zustände, denen die Messung der Observable kein bestimmtes Ergebnis liefert. Also kann die Überlagerung von zwei Eigenzuständen
einer Observablen, denen unterschiedliche Eigenwerte entsprechen, keinen Zustand ergeben kann, bei dem es sich um einen Eigenzustand der Observable
handelt.
3.3
Zustand
In der Quantenmechanik sind wie bereits erwähnt nur Wahrscheinlichkeitsaussagen über den Quantenzustand(Wellenfunktion) möglich. Die Wellenfunktion
kann als Vorschrift verstanden werden, die jeder Observablen eine Wahrscheinlichkeitsverteilung zuordnet.
Bsp: Ortsverteilung: wird Wert für Observable gemessen entspricht das
Resultat einem Zufallswert, der auf Grund einer Wahrscheinlichkeitsverteilung
zustande kommt.
Die Messung in Quantensystemen bestimmt also den Zustand des
Systems nicht eindeutig, sondern erhöht lediglich den Erkenntnisstand über
den Zustand des Systems.
Jeder quantenmechanische Zustand lässt sich aus Eigenzuständen zusammensetzen. Zustände unterscheiden sich allerdings, durch die relativen Anteile einzelner
Eigenzustände. Diese Anteile heissen Wahrscheinlichkeitsamplituden (gibt die
Wahrscheinlichkeit an jew. Eigenwert als Messwert zu erhalten).
3.3.1
Mathematische Beschreibung eines Zustandes (phänomenologisch)
Zu jedem Zeitpunkt wird der Zustand eines QM-Systems durch einem komplexen Vektor im Hilbertraum der Zustände beschrieben. Das bedeutet: die
4
Superposition von zwei Zuständen stellt einen möglichen Zustand des
Systems dar.
4
Vergleich
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