Dichteoperator

116
Dichteoperator
“Gemischter”
Gemischter Zustand: Zustand:
pi
 i 
System mit Wahrscheinlichkeit im Zustand Inkohärente Superposition – gemischter Zustand
System besteht aus i  1,..., N Elementen eines Ensembles
Für das i
das i‐te
te Element des Ensembles gilt:
Element des Ensembles gilt:
  i    cn i   n
n
n
: beliebige Basis
117
Motivation 1:
   cn (t )  n
(i)
(j)
n
“Realisierungen”, Element des “Ensembles”
 ( i )   cn(i ) (t ) n
n
Erwartungswert der Observable A:
1 N
1

(i )
(i )
(i )
( i ))*
A(t )    A    n A n '   cn ' (t )cn (t ) 
N i 1
N i
n, n '



n ' n
 Tr  A (t ) 
Statistischer Erwartungswert für ein Ensemble
(basisunabhängiger Ausdruck)
118
Motivation 2: “offene” Quantensysteme
Motivation 2: “offene” Quantensysteme
Umgebung
H  S E
System
   cn , j (t ) n ( s ) , j ( e )
n, j
Erwartungswert der Observable A im System S
A(t )   n ( s ) A n '( s )
n ,n '
*
c
c
j n ' j nj



n ' n
Spur über E
 A(t )   Trs  A    A |   “Liouville‐Skalarprodukt”
“Li
ill Sk l
d kt”
Erwartungs‐
Erwartungs
wert in H
EErwartungs‐
t
wert in S
119
Gemischter Zustand = statistisches
statistisches Ensemble: Ensemble:
Beschreibung durch Dichteoperator (“statistischer Operator”)  
 p        
i
i
i
(Spektraldarstellung)
Beispiel: Thermische Verteilung pi  exp( Ei kT )
Wichtige Eigenschaften von : 
positiv definit: 0  pn  1
normiert:  pn  1
n
hermitesch
120
Tr 
Tr  2  1
 1
Pˆn0
Spezialfall: reiner Zustand

mit

  n0   n0 
pn  0
Tr (  )

für
n  n0
Tr  2  1
Liouville‐von
Liouville
von Neumann Gleichung Neumann Gleichung
Bewegungsgleichung der Dichtematrix (Schrödingerbild):  (t )    n (t )  pn  n (t ) 
n
 U (t )  (0) U † (t )
d
i   (t ) 
dt
 H   (t ) 
Korrespondenzen
klassische Mechanik
a
 
qi , pi
Quantenmechanik
im Phasenraum
f im Phasenraum
 i im Hilbertraum
im Hilbertraum
Observable A ist eine reelle
 
Funktion von qi , pi
Funktion von
 
Phasenraumdichte  qi , pi
a
f
a
f
Observable A beschrieben durch
selbstadjungierten Operator
selbstadjungierten Operator
Dichtematrix (‐operator) 
Ensemble‐Erwartungswerte:
z
A  A d 3 N qd 3 N p

Zeitentwicklungen:
e te t c u ge
k p
d
   H, 
dt
121
d
i    H , 
dt