QUANTENMECHANIK Blatt 8 Sommersemester 2011 Prof

QUANTENMECHANIK
Blatt 8
Sommersemester 2011
Prof. J. Ankerhold, Prof. S. Huelga
Aufgabe 1: Dichteoperator im gemischten System
Ein Dichteoperator für ein gemischtes System sei gegeben durch
ρ̂ =
X
pj |χj ihχj |
j
wobei die |χj i ein Orthonormalsystem bilden und die pj die Wahrscheinlichkeiten angeben, das
P
System im Zustand χj anzufinden. 0 ≤ pj ≤ 1 und j pj = 1.
Zeigen Sie, dass für den Erwartungswert eines Operators  gilt:
hÂi = Spur(ρ̂Â)
(2 Punkte)
Aufgabe 2: Reduzierte Dichtematrix
Ein Hilbertraum sei gegeben als das direkte Produkt der Hilberträume (1) und (2), sodass ein
Vektor in diesem Hilbertraum durch |ni ⊗ |αi beschrieben werden kann.
a) Stellen Sie einen allgemeinen Dichteoperator Ŵ in diesem Hilbertraum dar und zeigen Sie, dass
der reduzierte Operator ρ̂ = Spurα Ŵ eine Dichtematrix ist, also dass ρ̂† = ρ̂, ρnn ≥ 0 und
Spurρ = 1.
(4 Punkte)
b) Ein System mit periodischen Randbedingungen und Abmessungen Lx , Ly sei in einem Zustand
q
2
~
|ψi mit der Wellenfunktion ψ(x, y) =
Lx Ly cos(kx x + ky y) mit festem Wellenvektor k, der
natürlich so beschaffen sein muss, dass ψ(x + mLx , y + nLy ) = ψ(x, y) für ganzzahlige m, n.
Bestimmen Sie die Dichtematrix W und die nur noch von x abhängige reduzierte Dichtemarix ρ.
Beschreibt ρ immer noch einen reinen Zustand?
(3 Punkte)
Aufgabe 3: Dichteoperator für ein Zweizustandssystem
Zeigen Sie, dass der Dichteoperator eines Zweizustandssystems durch
ρ̂ =
´
1³
~ · ~σ
1+S
2
~ = h~σ i der Erwartungswert des Spinoperators ~σ = (σ1 , σ2 , σ3 )
ausgedrückt werden kann, wobei S
(der Vektor der Paulimatrizen) und 1 die Einheitsmatrix ist. Zeigen Sie, dass der Blochvektor
~ im Allgemeinen eine Norm |S|
~ ≤ 1 hat, wobei Gleichheit genau für reine Zustände gilt.
S
(3 Punkte)