Statistische Physik: Übungsblatt 4

Statistische Physik
Prof. Dr. G. M. Pastor — Dr. W. Töws — D. Gallina
SS 2017
Übungsblatt 4
Aufgabe 1 - (5 Punkte)
Ein Ensemble eines Systems (z.B. N Atome in einem Volumen V ), welches aus N1
Elementen besteht und durch den Dichteoperator ρ̂1 beschrieben wird, wird mit einem zweiten Ensemble mit N2 Elementen und dem Dichteoperator ρ̂2 vereinheitlicht.
Finden Sie den Dichteoperator des neuen Ensembles.
Betrachten Sie darüber hinaus zwei beliebige Dichteoperatoren ρ̂1 und ρ̂2 , die im
selben Hilbertraum wirken. Zeigen Sie, dass ρ̂ = αρ̂1 + (1 − α)ρ̂2 mit 0 ≤ α ≤ 1 auch
wieder ein Dichteoperator des betrachteten Systems ist. Man sagt, dass die Menge
aller Dichteoperatoren eines Systems eine konvexe Menge ist.
Aufgabe 2 - (5 Punkte)
Zeigen Sie, dass Tr{ρ̂}, Tr{ρ̂2 } und die Eigenwerte von ρ̂S in einem streng abgeschlossenem System unabhängig von der Zeit t sind. Die Entropie eines gemischten
Zustands sei durch
S = −kB hlnρ̂i
gegeben. Zeigen Sie weiter, dass S in einem streng abgeschlossenem System nicht von
der Zeit t abhängig ist. Dies bedeutet, dass ein streng abgeschlossenes System ohne
Wechselwirkungen mit der Umgebung niemals sein Gleichgewicht erreichen kann.
Aufgabe 3 - (10 Punkte)
Zeigen Sie, dass der Dichteoperator genau dann einen reinen Zustand beschreibt, wenn
eine der unten aufgelisteten äquivalenten Bedingungen erfüllt ist. Zeigen Sie zudem,
dass all diese Bedingungen oder Aussagen äquivalent sind.
1. Es existiert ein reiner Zustand |αi, sodass ρ̂ = |αihα|.
2. ρ̂2 = ρ̂.
3. Tr{ρ̂2 } = 1.
4. S /kB = −Tr{ρ̂ lnρ̂} = −hlnρ̂i = 0.
5. ρ̂ kann nicht als Summe zweier unterschiedlicher Dichteoperatoren ρ̂1 und ρ̂2
geschrieben werden, d.h., es existieren keine zwei Dichteoperatoren ρ̂1 6= ρ̂2 ,
sodass ρ̂ = α1 ρ̂1 +α2 ρ̂2 mit α1 +α2 = 1 und αi > 0. In anderen Worten, das durch
ρ̂ beschriebene Ensemble lässt sich nicht in 2 Ensembles mit unterschiedlichen
Eigenschaften trennen.
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Aufgabe 4 - (10 Punkte)
Finden Sie die Darstellung von ρ̂H (t) im Heisenberg-Bild und zeigen Sie, dass ρ̂H in
einem streng isolierten System unabhängig von der Zeit ist. Überprüfen Sie die Aussage, indem Sie die Bewegungsgleichung für Operatoren in der Heisenberg-Darstellung
mit der Liouville-Gleichung (Schrödinger-Darstellung) kombinieren.
Verifizieren Sie die Invarianz der Mittelwerte eines jeden Operators  in den beiden
Darstellungen
hÂS i = hÂH i.
Hinweis:
Nutzen Sie die bereits aus der Quantenmechanik bekannte Beziehung zwischen der
Schrödinger- und der Heisenberg-Darstellung eines Operators, die durch
bH = U
b † (t0 , t) A
bS U
b (t0 , t)
A
gegeben ist.
Aufgabe 5 - (10 Punkte)
Finden Sie die unvoreingenomme Wahrscheinlichkeitsdichte p(x ) für die eindimensionale Zufallsvariable x unter der Annahme, dass der Mittelwert durch x0 und die
Varianz durch σ 2 bekannt sind. Analysieren Sie das Resultat in Bezug auf die Idee
der maximalen Vielfalt bzw. maximaler Entropie (minimaler Informationsgehalt) und
den zentralen Grenzwertsatz. Was sagt Ihnen das Resulatet über die Gaußverteilung
und den zentralen Grenzwertsatz?
Versuchen Sie zunächst die Aufgabe zu lösen ohne weiterzulesen.
Hinweis 1:
Sie wissen, dass sie den Mittelwert frei verschieben können. Betrachten Sie zunächst
den einfacheren Fall mit x0 = 0 ohne Beschränkung der Allgemeinheit. Unvoreingemommen bedeutet, dass die in der Wahrscheinlichkeitsdichte enthaltene Information
minimal bzw. die Vielfältigkeit maximal wird, d.h., dass die Entropie maximal wird.
Maximieren Sie das Funktional
S [p(x )] = −hln [p(x )]i
R
unter der Bedingung, dass p(x )dx = 1 (Langrange-Multiplikator α), hx i = 0
(Lagrange-Multiplier β) und hx 2 i = σ 2 (Lagrange-Multiplikator γ) ist. Leiten Sie
das Funktional ab oder betrachten Sie die Variation in Abhängigkeit von p(x ).
Hinweis 2:
Zeigen Sie, dass p(x ) symmetrisch sein muss (d.h., β = 0). Zeigen Sie, dass dies die
einzige Lösung ist. Wie sieht nun die Verteilung aus? Wie bestimmen Sie α und γ?
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