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Zusammenfassung der 5. Vorlesung (19.11.07)
1.3 Korrelationen, Verschränktheit, Quantenkorrelationen bipartiter Systeme: Nach Wiederholung der Grundbegriffe der klassischen Wahrscheinlichkeitstheorie wie Messraum (Ω, A), Wahrscheinlichkeitsraum (Ω.A, µ) und
der Interpretation, insbesondere der Deutung von A als Logik der Ereignisse,
Versuchsreihen und Selektion nach dem Auftreten eines bestimmten Ereignisses,
wurde für µ(b) 6= 0 die bedingte Wahrscheinlichkeit von a unter der Hypothese b,
µ(a ∩ b)
,
µ(a|b) :=
µ(b)
eingeführt. Offenbar gelten stets die Bayes’schen Identitäten
µ(a ∩ b) = µ(b)µ(a|b) = µ(a)µ(b|a),
sowie
µ(a) = µ(b)µ(a|b) + µ(bc )µ(a|bc ),
wobei bc die Komplementärmenge von b bezeichnet. Im Allgemeinen gilt
µ(a|b) 6= µ(a). Falls jedoch µ(a|b) = µ(a), und folglich auch µ(a ∩ b) =
µ(a)µ(b) sowie µ(b|a) = µ(b) gelten, dann heißen die Ereignisse a und b
voneinander unabhängig.
Seien nun (Ω, A) und (Ω0 , A0 ) die Messräume der Teile eines bipartiten Systems, dann ist das Produkt (Ω × Ω0 , A ⊗ A0 ), wobei A ⊗ A0 die von A × A0
erzeugte σ-Algebra ist, der natürliche Messraum für das zusammengesetzte
System. Sind µ und µ0 Wahrscheinlichkeitsmaße auf (Ω, A) bzw. (Ω0 , A0 ),
dann gilt für das durch (a, a0 ) 7→ µ(a)µ0 (b0 ) eindeutig bestimmte Produkmaß
π auf (Ω × Ω0 , A ⊗ A0 )
π((a, Ω0 ) ∩ (Ω, b0 )) = π((a, b0 )) = π((a, Ω0 ))π((Ω, b0 )),
d.h. die Ereignisse (a, Ω0 ) und (Ω, b0 ) treten unabhängig voneinander auf. Da
dies für alle Paare (a, b0 ) gilt, nennt man das Maß π auch unkorreliert.
Im Allgemeinen gibt es für ein Maß κ auf (Ω × Ω0 , A ⊗ A0 ) jedoch Ereignisse
(a, b0 ) mit
κ((a, Ω0 )|(Ω, b0 )) 6= κ((a, Ω0 )) und κ((Ω, b0 )|(a, Ω0 )) 6= κ((Ω, b0 )),
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d. h. es treten Korrelationen auf.
Sei nun (Ω, A)=(Ω
˜ 0 , A0 ) mit a ↔ a0 , b ↔ b0 und für alle (a, b0 ) gelte κ(a, b0 ) =
κ((a ∩ b), (a0 ∩ b0 )), dann gilt
κ((a, a0 ))
κ((a, a0 ))
κ((a, a0 ))
=
=
κ((Ω, a0 ))
κ((a, a0 ))
κ((a, Ω0 ))
0
0
= κ((Ω, a ))|(a, Ω )) = 1.
κ((a, Ω0 )|(Ω, a0 )) =
In diesem Fall sind alle korrespondierenden Ereignisse der beiden Teilsysteme
strikt korreliert. Ein solches Maß κ läßt sich leicht konstruieren.
In der Quantenmechanik sei H der zugrunde liegende Hilbertraum. Ist (Ω, A)
ein Messraum, dann betrachtet man anstelle eines Wahrscheinlichkeitsmaßes
µ ein Spektralmaß
M : A 7→ P(H) := {P ∈ L(H)|P = P + = P 2 }
mit den Eigenschaften:
M (Ω) = 1,
M (ac ) = 1 − M (a),
und für jede endliche oder abzählbar unendliche Folge paarweise disjunkter
Ereignisse {an } gilt
X
[
M (an ).
M ( an ) =
n
n
Jede messbare Funktion f → R bestimmt dann durch
Z
Z
xd(M ◦ f −1 )
f dM =
F :=
R
Ω
eine Observable F = F + . Das letzte Integral über R stellt die in der
Quantenmechanik übliche Form der Spektralzerlegung dar, in der die Spektralschar etwa durch Ex = M ◦ f −1 ((−∞, x]) gegeben ist. Man zeigt leicht, dass das Bild von A unter M aus vertauschbaren Projektionsoperatoren
besteht und, dass mit einem Dichteoperator ρ durch µ(·) := tr(ρM (·)) ein
Wahrscheinlichkeitsmaß auf (Ω, A) gegeben ist.
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