Ubungen zur Vorlesung

SoSe 2017
Blatt 5
Prof. Dr. Guido Kings
Johannes Sprang
Übungen zur Vorlesung Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik
(Abgabetermin: 2.6.2017)
Aufgabe 1:
(5 Punkte)
Sei (Ω, A , P ) ein W-Raum und (Ai )i∈I eine Familie unabhängiger Ereignisse. Zeigen Sie,
dass auch die Familie der Komplemente (Aci )i∈I unabhängig ist.
Aufgabe 2:
(5 Punkte)
In einem Gefängnis sitzen drei zum Tode verurteilte Gefangene Anton, Brigitte und Clemens. Mit Hilfe eines Losentscheids, bei dem alle drei die gleiche Chance hatten, wurde
eine(r) der Gefangenen begnadigt. Der Gefangene Anton, der also eine Überlebenswahrscheinlichkeit von 1/3 hat, bittet den Wärter, der das Ergebnis des Losentscheids kennt,
ihm einen seiner Leidensgenossen Brigitte und Clemens zu nennen, der oder die sterben
muss. Der Wärter antwortet Brigitte“. Nun kalkuliert Anton: Da entweder ich oder Cle”
”
mens überleben werden, habe ich eine Überlebenswahrscheinlichkeit von 50%.“ Würden
Sie dem zustimmen? Hinweis: Nehmen Sie bei der Konstruktion des Wahrscheinlichkeitsraumes an, dass der Wärter mit gleicher Wahrscheinlichkeit Brigitte“ oder Clemens“ ant”
”
wortet, falls er weiß, dass Anton der Begnadigte ist.
Aufgabe 3:
(5 Punkte)
Sei Ω eine abzählbar unendliche Menge und (Ω, A , P ) mit A = P(Ω) ein W-Raum.
Zeigen Sie: Wenn die Familie (A)A∈A unabhängig ist, dann ist P ein Diracmaß, d.h. es
existiert ein ω ∈ Ω mit
(
1 ω∈A
P (A) =
0 ω∈
/ A.
Aufgabe 4:
(5 Punkte)
Für jede Primzahl p sei Ap ⊆ N die Menge aller Vielfachen von p. Zeigen Sie, dass es
kein Wahrscheinlichkeitsmaß P auf (N, P(N)) geben kann, für welches die Ereignisse Ap
unabhängig sind mit P (Ap ) = p1 .