13 Dichteoperator - Universität Potsdam

Universität Potsdam
WS 2006/2007
13
Institut für Physik
Thermodynamik / Statistische Physik
VL A. Pikovski, Ü F. Albrecht, K. Ahnert
Dichteoperator
Aufgabe 13.1 (4 Punkte)
(1) Zeigen Sie, dass die Eigenwerte der Dichtematrix nicht-negativ sind.
(2) Zeigen Sie, dass für einen reinen Zustand alle Eigenwerte der Dichtematrix bis auf einen,
der 1 ist, verschwinden.
(3) Die quantenmechanische Entropie wird als S = −Sp(ρ̂ ln ρ̂) definiert. Zeigen Sie, dass sie
in einem reinen Zustand verschwindet.
Welche Entropie hat ein vollständiges Gemisch aus N
P
|kihk|
?
orthogonalen Zuständen ρ̂ = N1 N
k=1
Aufgabe 13.2 (6 Punkte)
Der Observablen Elektronenspin ist der Operator
~ = h̄ ~σ
S
2
~σ = (σx , σy , σz )
zugeordnet, wobei die σx,y,z Paulische Spinmatrizen sind. Mit den Eigenzuständen von σz sollen
die Observablen A, B, C die folgenden Matrixdarstellungen besitzen:
3 0
1 1
0 2i
A=
B=
C=
0 −1
1 −1
−2i 0
An einem Spinzustand wurden die folgenden Erwartungswerte gemessen:
hAi = 2
hBi =
1
2
hCi = 0
1. Bestimmen Sie die Dichtematrix ρ des Spinzustandes.
Hinweis: Man schreibe
a
b + ic
ρ=
b − ic 1 − a
und finde 3 Gleichungen für 3 reele Zahlen a, b, c
2. Ist dieser Zustand rein oder gemischt?
3. Berechnen Sie hσx,y,z i.
Aufgabe 13.3 (5 Punkte)
Der Hamiltonoperator eines Systems hat nur zwei Eigenzustände 0 und 0 . Das System befindet sich im Gleichgewicht mit Temperatur T0 . Stellen Sie die Dichtematrix explizit in der
Energiedarstellung. Der Hamiltonoperator soll nun langsam verändert werden, so dass am Ende die Energiezustände 10 und 11 entstehen, dabei ist das System abgeschlossen. Benutzen Sie
das adiabatische Theorem, um die Dichtematrix nach diesem Prozess zu berechnen. Zeigen
Sie, dass das Resultat einer geändereten Temperatur T1 entspricht. Was können Sie über die
Entropieänderung aussagen?