σ , σ μ

Quantenoptik – WS2011/12
1.
Übungsblatt 6
Spin ½ System
Spin ½ Systeme sind, ähnlich wie der harmonische Oszillator, grundlegende Systeme in der
Quantenmechanik, auf die sich viele weitere Systeme mathematisch abbilden lassen. Diese Abbildung wird
z.B. bei der Beschreibung von 2-Niveau Atomen, aber auch in vielen Modellen der
Quanteninformationsverarbeitung benutzt. Hier sollen ein paar grundlegende Eigenschaften dieser Systeme
untersucht werden.
a.
Bestimmen Sie die Matrixdarstellung des Operators für die z-Komponente des Spins, indem Sie die
Spin-Zustände als Vektoren schreiben und die Eigenwertgleichung für den z-Spinoperator benutzen:
1 
0 
   ,    , S z  
0 
1 
b.

2
 , S z    2  .
(1)
Die Auf- und Absteigeoperatoren für den Spin sind definiert durch S    0, S      und
 0 1
 0 0
, S   
 . Wie lauten die
S      , S    0 , d.h. S   
 0 0
 1 0
Matrixdarstellungen für die Operatoren für die x und y Komponente des Spins, die definiert sind
durch: S x  12 S   S  , S y  21i S   S   ?


c. Die Pauli-Matrizen können definiert werden durch S  2  . Bestimmen Sie  x , y .

d.

(1)
Bestimmen Sie die zeitabhängige Dichtematrix des Systems in einem statischen Magnetfeld in zRichtung mit dem Hamiltonoperator H   B B z und dem Ausgangszustand zur Zeit t=0:
a
 (0)    . (Hinweis:  (t )  exp iHt /    (0)
b
2.
(1)
(1)
Doppelspaltexperiment mit Dichtematrix
Es soll eine stark vereinfachende Behandlung des Young’schen Doppelspaltexperimentes betrachtet werden,
mit der die „Kohärenzterme“ in der Dichtematrix verdeutlicht werden sollen. Der Aufbau ist:
L1
1
"Mode a"
L2
"Mode b"
2
Doppelspalt
Schirm
Die Vereinfachung besteht im Wesentlichen in der Vernachlässigung von Normierungen und der
Betrachtung des Weges von Spalt 1 zum Detektor als Mode a und des Weges vom Spalt 2 zum Detektor als
Mode b.
a.
Nehmen Sie an, dass der Doppelspalt von einem einzelnen Photon beleuchtet wird, so dass eine
quantenmechanische Überlagerung mit gleicher Wahrscheinlichkeit das Photon in jeweils einer der
beiden Moden zu finden resultiert. Der Ausgangszustand ist also (unter Vernachlässigung der
Normierung):
0  1 a  0 b  0 a  1 b  1,0  0,1
Auf dem Weg zum Schirm gewinnen die einzelnen Moden eine Phase kL1, 2 , d.h.
1 a  e ikL1 1 a , 1 b  e ikL2 1 b , während die unbesetzten Moden keine Phase gewinnen.
i. Bestimmen Sie die Dichtematrix für den Ausgangszustand in der Basis:
 1
 0
1,0   , 0,1    .
 0
 1
(1)
ii. Wie lautet der Zustand am Schirm?
(1)
iii. Wenn es sich um einen Phosphorschirm handelt, so werden dort im wesentlichen Photonen



detektiert, d.h. das Signal ist proportional zum Erwartungswert von aˆ  bˆ aˆ  bˆ , wobei die
Operatoren a,b jeweils auf die Photonen der entsprechenden Moden wirken. Bestimmen Sie diesen
Erwartungswert.
(1)


iv. Bestimmen Sie die Dichtematrix des Zustandes am Schirm. Wo finden sich die Interferenzterme
wieder?
(1)
 e ikL1
ˆ
v. Zeigen Sie durch Vergleich, dass die unitäre Transformation U  
 0

0 
 den
e ikL2 
Ausgangszustand in den Schirmzustand und die Ausgangsdichtematrix in die Schirmdichtematrix
überführt.
(1)
b.
Ersetzen Sie den Doppelspalt gedanklich durch zwei unabhängige Punktquellen, von denen Sie nur
wissen, dass mit jeweils 50% Wahrscheinlichkeit ein Photon in Mode a bzw. Mode b ausgesandt wurde.
Das Feld lässt sich somit nicht mehr als reiner Zustand, sondern nur noch als Dichtematrix schreiben.
Wie lautet die Dichtematrix für den Ausgangszustand diesmal? Transformieren Sie die Dichtematrix
mit obiger Transformation, um zur Dichtematrix am Schirm zu gelangen. Erwarten Sie nun ein
Interferenzmuster?
(1)
Abgabe bis zum 29.11.2011
Quantenoptik – WS2011/12
Anwesenheitsübung 6
1. Atomuhr
Unsere Zeit basiert auf dem Übergang zwischen den F=3 und F=4 Zuständen des Cs-Atoms. Die Messung der
Energiedifferenz zwischen diesen Niveaus erfolgt mit Hilfe einer sogenannten Atomuhr, wie sie im Folgenden
schematisch grob dargestellt ist:
Zustandspräparation
Zustandsselektive
Detektion
T
/2 Puls
/2 Puls
Im Folgenden sollen die optischen Bloch-Gleichungen auf das Atomuhrschema angewandt werden. Dazu sollen
die Zustände F=3 mit g und F=4 mit e bezeichnet und davon ausgegangen werden, dass die Zustandspräparation
die Atome in g präpariert. Benutzen Sie die aus der Vorlesung bekannte Definition des Bloch-Vektors:
 u    ge   eg 

  
 v    i (  ge   eg ) 
 w     
gg 
   ee
und die Lösung der Bloch-Gleichungen:
 12  2 cos t


 sin t
2


(
)
u
t




 

sin t
cos t
 v(t )   

 w(t )  


1
1
sin t
  2 (1  cos t ) 

 


1
(1  cos t ) 
2
  u ( 0) 
1
  v ( 0) 
sin t



 w(0) 
2
2



  1 cos t

2


mit ().
a.
Der Ausgangsvektor entspricht dem Zustand mit allen Atomen im Grundzustand, d.h. u(0)=v(0)=0, w(0)=
–1. Die Definition eines /2-Pulses ist, dass gilt: t=/2. Bestimmen Sie den Bloch-Vektor nach dem ersten
/2-Puls unter der Annahme eines vernachlässigbar kurzen /2-Pulses (d.h. , wieso folgt dies? Setzen
sie =0). Skizzieren Sie die entsprechende Entwicklung des Blochvektors unten in der Blochkugel A.
Was passiert hier anschaulich?
b.
Auf die Anregung folgt eine freie Entwicklungszeit T, mit 1=0. Bestimmen Sie den Blochvektor nach
dieser Entwicklungszeit und skizzieren Sie die Entwicklung in der Blochkugel B.
c.
Der Vergleich der atomaren Entwicklung mit der Oszillation des anregenden Feldes erfolgt in einer weiteren
Anregung mit einem /2-Puls. Berechnen Sie den resultierenden Blochvektor (unter denselben Annahmen
wie in a) und skizzieren Sie die Entwicklung in der Blochkugel C.
d.
Was ist bei der zustandsselektiven Detektion zu erwarten? Skizzieren Sie die Wahrscheinlichkeit Atome im
Grundzustand zu finden in Abhängigkeit von . Was wird durch  repräsentiert?
e.
Wie kann man mit der obigen Anordnung die Zeit messen und wie erreicht man eine möglichst hohe
Genauigkeit?
w
A
w
B
v
u
w
C
v
u
v
u