M = M , Sp(M)=1, A = (1 1 1 1 ) B = (1 i i 0 ) C = ( 0 i −i 1 ) D = 1 2 ( 1 i

Dr. T.-P. Hack
Dr. K. Sanders
Inst. f. Theoretische Physik
Wintersemester 2015/16
Übungen zu TP4 - Quantenmechanik 2 / Thermodynamik und Statistik 2 (StEx Lehramt)
Aufgabenblatt 7
Aufgabe 7.1 – Dichtematrizen auf C2
2 Punkte
Zur Erinnerung: Eine quadratische Matrix M ist eine gültige Dichtematrix wenn folgende Bedingungen erfüllt sind:
M† = M ,
Die Eigenwerte von M sind ≥ 0.
Sp(M ) = 1 ,
a) Welche der folgenden Matrizen auf C2 sind gültige Dichtematrizen?
A=
1 1
1 1
1 i
B=
i 0
C=
0 i
−i 1
1
D=
2
1 i
−i 1
b) Wir betrachten die Matrix
a b
M=
c d
wobei a, b, c, d komplexe Zahlen sind. Welche Bedingungen müssen diese vier komplexen
Zahlen erfüllen, damit M eine Dichtematrix ist?
c) Behauptung: Eine Dichtematrix auf C2 ist durch die Angabe n reeller Zahlen eindeutig festgelegt. Bestimmen Sie das (kleinste) n für das die Behauptung stimmt.
Hinweis: Um die Bedingung für die Eigenwerte zu verifizieren, dürfen Sie die Behauptung von
Aufgabe 7.3 (auch ohne Beweis derselben) verwenden.
Aufgabe 7.2 – Der unpolarisierte Spinzustand
Wir betrachten die folgenden normierten Vektoren in C2 :
1 1
1
0
|z ↑i =
, |z ↓i =
, |x ↑i = √
,
0
1
2 1
1
1 1
1
1
1
|x ↓i = √
, |y ↑i = √
, |y ↓i = √
.
2 −1
2 i
2 −i
1
2 Punkte
Des Weiteren betrachten wir für beliebige reelle Zahlen a, b, c, d, e mit
a2 + b2 ≤ 1 ,
c ≥ 0,
d ≥ 0,
e ≥ 0,
c+d+e≤1
die reinen Zustände ψa,b gegeben durch die normierten Vektoren
|ψa,b i = (a + ib)|z ↑i +
p
1 − a2 − b2 |z ↓i
und die gemischten Zustände ϕc,d,e gegeben durch die Dichtematrizen
ρϕc,d,e = c|z ↑ihz ↑| + d|z ↓ihz ↓| + e|x ↑ihx ↑| + (1 − c − d − e)|y ↑ihy ↑| .
a) Es seien S1 , S2 , S3 die Spinoperatoren aus Aufgabe 1.3. Berechnen Sie die Erwartungswerte
dieser Operatoren in den Zuständen ψa,b und ϕc,d,e .
b) Der Eingangszustand im Stern-Gerlach-Experiment ist vollständig unpolarisiert, d.h. der Erwartungswert aller drei Operatoren S1 , S2 , S3 verschwindet in diesem Zustand. Folgern Sie
daraus, dass dieser Zustand kein reiner Zustand von der Form ψa,b sein kann und bestimmen
Sie die Werte der Parameter c, d, e, für die der gemischte Zustand ϕc,d,e vollständig unpolarisiert ist.
Aufgabe 7.3 – Positivität von Matrizen auf C2 (freiwillig)
2 Punkte
Sie können diese Aufgabe freiwillig anstatt einer der beiden vorhergehenden bearbeiten. Sollten
Sie alle drei Aufgaben bearbeiten, werden nur die zwei Besten gewertet.
Beweisen Sie folgende mathematische Aussage: die Eigenwerte λ1 , λ2 einer 2 × 2 Matrix M mit
komplexen Einträgen sind genau dann ≥ 0 wenn
(Sp(M ))2
≥ det(M ) ≥ 0
4
und gleichzeitig
Sp(M ) ≥ 0 .
Abgabe: Bis Dienstag, 01.12.2015, vor der Vorlesung. Gruppenabgaben sind nicht gestattet.
Hinweis: In der Regel können Sie die Aufgaben schneller lösen wenn Sie bereits erzielte Ergebnisse verwenden. Sie dürfen (unter Inkaufnahme von Punktabzug) Teilaufgaben überspringen
und mit den angegebenen Zwischenresultaten weiterrechnen.
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