F Matrix-Diagonalisierung

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F MATRIX-DIAGONALISIERUNG
F
F.1
Matrix-Diagonalisierung
Hermitesche Matrizen
Theorem: Hermitesche Matrizen M können durch unitäre Transformationen diagonalisiert werden,
U † M U = diag(M1 , . . . , Mn ) ,
(F.1)
wo U unitär ist und die Eigenwerte Mi reell sind. Die Spalten von U enthalten die Eigenvektoren von M .
Beweis: Siehe die Vorlesung zur linearen Algebra.
F.2
Allgemeine Matrizen (Biunitäre Diagonalisierung)
Theorem: Eine allgemeine, nicht-singuläre Matrix M kann diagonalisiert werden durch
eine biunitäre Transformation,
UL† M UR = diag(M1 , . . . , Mn ) .
(F.2)
UL und UR sind unitär, die Mi sind reell und positiv. Die Matrizen UL und UR können
bestimmt werden, indem man unitäre Matrizen ermittelt, die M M † bzw. M † M diagonalisieren, d.h.
UL† M M † UL
UR† M †
M UR
=
diag(M12 , . . . , Mn2 ) ,
(F.3a)
=
diag(M12 , . . . , Mn2 )
(F.3b)
.
Beweis: Definiere
H 2 := M M † .
(F.4)
Diese Matrix ist offensichtlich hermitesch und kann daher durch eine unitäre Transformation diagonalisiert werden,
UL† M M † UL = diag(M12 , . . . , Mn2 ) =: D2 ,
(F.5)
wobei die Mi reell sind. Die Eigenwerte, d.h. die Diagonalelemente von D2 , sind positiv,
weil M M † nur positive Eigenwerte hat. Um das zu sehen, betrachte eine Eigenvektor u
von M M † ,
M M† u = λ u ,
und definiere v := M u. Dann ist
0 < v † v = u† M M † u = u† (M M † ) u = λ u† u ,
wo dann aus u† u > 0 die Behauptung λ > 0 folgt. Definiere nun D als diejenige diagonale
Matrix, deren Diagonalelemente durch die Wurzeln der Diagonalelemente von D2 gegeben
sind. Dann erfüllt
H := UL D UL†
(F.6)
offensichtlich (F.4). Mit der Matrix V := H −1 M , die unitär ist aufgrund
V†V
H † =H
=
M † H −1 H −1 M
(F.4)
=
M † (M M † )−1 M =
1,
(F.7)
F MATRIX-DIAGONALISIERUNG
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erhalten wir
M = HV
(F.6)
=
UL D UR† ,
(F.8)
wobei UR := V † UL unitär ist. Somit ist (F.2) bewiesen. Darüber hinaus diagonalisiert
UR die Matrix M † M , denn
UR† M † M UR
(F.8)
=
UR† UR D UL† UL D UR† UR = D2 ,
(F.9)
was (F.3b) zeigt.
F.3
Symmetrische Matrizen
Corrolar: Komplexe symmetrische Matrizen M können diagonalisiert werden mit einer
unitären Matrix U ,
U T M U = diag(M1 , . . . , Mn ) =: D ,
(F.10)
U † M † M U = D2 ,
(F.11)
wobei
d.h. die reellen Zahlen Mi sind die Wurzeln der Eigenwerte von M † M .
Beweis: Von Theorem F.2 wissen wir, dass
M = UL D UR† ,
(F.12)
wobei UL , UR und D are eindeutig bestimmt sind.19 Da M symmetrisch ist, folgt
M = M T = UR∗ D ULT .
(F.13)
Andererseits können wir diese Gleichung als Diagonalisierung von M T auffassen, die gemäß
Theorem F.2 eindeutig bestimmt ist. Somit können wir UL = UR∗ schliessen. Setzt man
nun U := UR und berücksichtigt (F.3b), ist die Behauptung gezeigt.
19 Beachte, dass U und U nicht eindeutig sind, falls die Eigenwerte von D entartet sind. In diesem Fall
L
R
gibt es Matrizen U , die M † M diagonalisieren, d.h. U † M † M U = D, die jedoch nicht M diagonalisieren.
Man kann M natürlich immer noch diagonalisieren, aber die Matrix U , die das bewerkstelligt, kann nicht
bestimmt werden, indem man einfach die Eigenvektoren von M † M bestimmt. Jedoch gilt die Aussage des
Corrollars immer noch.