Hausaufgaben für Fr. 6.5.2016

Übungen zur Theoretischen Physik 5: Statistische Physik
SS 2016
Prof. Dr. T. Feldmann, Dr. P. Moch, M. Höfer
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Blatt 1
Ausgabe: Fr, 29.4.2016
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Abgabe: Fr, 6.5.2016
Hausaufgaben für Fr. 6.5.2016
Aufgabe 6:
Dichtematrix in Matrixdarstellung
7P
(i) Gegeben sei ein quantemechanisches 2-Niveau-System, welches durch die Dichtematrix ρ̂ beschrieben wird. Betrachten Sie die Observablen Â, B̂ und Ĉ, welche
die folgende Matrixdarstellung besitzen:
1
1
0
−i
−1
1
 =
,
B̂ =
,
Ĉ =
.
(1)
1
−1
i
0
i
3
Die Erwartungswerte dieser Observablen wurden als
hÂi =
1
,
3
hB̂i = 0 ,
hĈi =
1
,
3
(2)
gemessen.
(a) Wie lautet die Dichtematrix ρ̂ des Systems?
(b) Handelt es sich um einen reinen oder einen gemischten Zustand?
(c) Betrachten Sie nun die Pauli-Matrizen
0
1
0
−i
σx =
,
σy =
,
1
0
i
0
1
σz =
0
0
−1
,
und berechnen Sie deren Erwartungswerte hσx i, hσy i und hσz i für die oben
bestimmte Dichtematrix ρ̂.
(ii) Bestimmen Sie die Parameter α, β und

α
ρ̂ = β
1
γ der Matrix

β
1
1
γ ,
2
1
so dass diese eine Dichtematrix für ein quantemechanisches 3-Niveau-System in
einem reinen Zustand beschreibt.
Bitte wenden!
Aufgabe 7:
Dichteoperator aus nichtorthogonalen Zuständen
Wir betrachten den Dichteoperator
X
ρ̂ =
pn |ψn ihψn | ,
mit
X
n
pn = 1 ,
6P
(3)
n
für Zustände |ψn i, die zwar normiert, aber nicht orthogonal sind. Zeigen Sie, dass die
folgenden charakteristischen Eigenschaften des Dichteoperators erhalten bleiben:
(a) Der Dichteoperator ρ̂ ist hermitsch, positiv semidefinit und hat somit nicht negative reelle Eigenwerte und orthogonale Eigenvektoren.
(b) Die Spur über den Dichteoperator erfüllt
Tr(ρ̂) = 1.
(c) Es gilt die Ungleichung
Tr(ρ̂2 ) ≤ 1 ,
wobei Gleichheit für reine Zustände gegeben ist.
Aufgabe 8:
Zeitabhängige Dichtematrix
7P
~ = B ez . Der HamilBetrachten Sie ein Spin-1/2 Teilchen im externen Magnetfeld B
tonoperator sei gegeben durch
Ĥ = −µb Bz Ŝz .
(4)
~ in x-Richtung polarisiert. Stellen Sie den Zustand
(a) Zur Zeit t = 0 sei der Spin S
|ψ(t = 0)i in der Eigenbasis des Hamiltonoperators dar. Bestimmen Sie in dieser
Basis die dazugehörige Dichtematrix ρ̂(t = 0).
(b) Erfüllt ρ̂(t = 0) die Projektoreigenschaft ρ̂(0)2 = ρ̂(0) ?
(c) Bestimmen Sie aus der von-Neumann-Gleichung die Dichtematrix ρ̂(t) zur Zeit
t > 0. Erfüllt ρ̂(t) die Projektoreigenschaft?
(d) Berechnen Sie mit Hilfe von ρ̂(t) den Erwartungswert hŜy i der Spinkomponente
in y -Richtung.