¨Ubungen zur Vorlesung: Statistische Mechanik

Prof. Dr. R. Egger
Dr. A. Zazunov
WS 2012/13
Blatt 2
Übungen zur Vorlesung: Statistische Mechanik
Abgabe bis Mittwoch, 7. November, 12:00 Uhr
Übungstermine:
Gruppe 1: Do 8.11., 08:30 - 10:30, Hörsaal 5M
Gruppe 2: Do 8.11., 10:30 - 12:30, Raum 25.32.O3.51
Gruppe 3: Do 8.11., 10:30 - 12:30, Raum 25.32.O2.51
Aufgabe 4: Mikrokanonisches Ensemble: Oszillator
8 Punkte
Betrachten Sie einen eindimensionalen klassischen harmonischen Oszillator mit der Hamiltonfunktion
H(q, p) =
p2
mω 2 2
+
q
2m
2
Der Oszillator sei in einem mikrokanonischen Zustand der Energie E, d.h. die Phasenraum-Verteilungsfunktion ist
ρE (q, p) =
1
δ (H(q, p) − E)
D(E)
a) Bestimmen Sie zunächst die Zustandsdichte D(E) aus der Normierung der Verteilungsfunktion!
(2 Punkte)
b) Bestimmen Sie die Ortsverteilung ρE (q) durch Integration von ρE (q, p) über den Impuls! Vergleichen Sie nun
Ihr Resultat mit dem Ergebnis von Aufgabe 2.
(3 Punkte)
c) Was erhalten Sie für ρE (q) im Fall des quantenmechanischen harmonischen Oszillators? In welchem Grenzfall
stimmt dieses Resultat mit dem klassischen überein?
(3 Punkte)
Aufgabe 5: Dichteoperator und Spurbildung
8 Punkte
Betrachten Sie beliebige quantenmechanische Operatoren
A, B auf einem endlich-dimensionalen Hilbertraum. Wir
P
untersuchen die Eigenschaften der Spur, TrA = n hn|A|ni, wobei {|ni} ein beliebiges vollständiges Orthonormalsystem bezeichnet, welches den Hilbertraum aufspannt. Weiterhin sei U eine unitäre Matrix in diesem Hilbertraum.
a) Zeigen Sie die folgenden Eigenschaften der Spur:
Tr(A† A) ≥ 0
Tr(AB)
Tr(U † AU )
=
=
Tr(BA)
Tr(A)
(3 Punkte)
1
Übungen zur Vorlesung: Statistische Mechanik, Blatt 2
b) In einem zweidimensionalen Hilbertraum habe A die Matrixdarstellung
α γ
A=
−γ β
mit beliebigen komplexen Zahlen α, β, γ. Unter welchen Bedingungen ist A eine Dichtematrix? Welche Bedingungen müssen zusätzlich gelten, damit ein A einen reinen Zustand beschreibt?
(3 Punkte)
c) Betrachten Sie nun die Werte von α, β, γ, bei denen A = ρ aus Teilaufgabe (b) eine Dichtematrix darstellt, und
berechnen Sie die Entropie S[ρ] = −kTr(ρ ln ρ). Wann wird die Entropie maximal bzw. minimal? Was bedeutet
das physikalisch?
(2 Punkte)
Aufgabe 6: Ortsverteilungsfunktion
4 Punkte
Wir betrachten ein klassisches Teilchen mit Masse m im Potential V (~x) in d = 1, 2, 3 Dimensionen. Das Teilchen
liege in einem mikrokanonischen Zustand mit Energie E vor.
a) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeitsdichte ρE (~x) dafür, das Teilchen beim Ort ~x anzutreffen. Diskutieren Sie
Ihr Resultat für d = 1, 2, 3! (Die Zustandsdichte D(E) kann als bekannt vorausgesetzt werden und muss nicht
berechnet werden.)
3 Punkte
b) Vergleichen Sie das erhaltene mikrokanonische Resultat mit der üblicherweise benutzten Verteilung ρ(~x) ∼
e−βV (~x) mit β = 1/(kT ). Inwiefern und warum unterscheiden sich beide Verteilungen?
1 Punkt
2