Ubungen zu “Lineare Operatoren im Hilbertraum”

TU Braunschweig, Institut Computational Mathematics
Prof. Dr. R. Hempel und Dr. M. Stautz
26. 04. 2017
Blatt 3
Übungen zu “Lineare Operatoren im Hilbertraum”
Sommersemester 2017
Aufgabe 11 Zeigen Sie, daß die direkte Summe H1 ⊕ H2 der Hilberträume H1 und H2
wieder ein Hilbertraum ist. (Vgl. Beispiel 1.14, (4), der Vorlesung.)
Aufgabe 12 Seien M , N lineare Teilräume des Hilbertraums H. Dann gilt:
(a) M ⊥ ist ein abgeschlossener, linearer Teilraum von H.
(b) Aus M ⊂ N folgt N ⊥ ⊂ M ⊥ .
(c) Es gilt ( M )⊥ = M ⊥ .
(d) Es ist M = (M ⊥ )⊥ . (Hinweis: Projektionssatz.)
(e) Es ist M = H genau dann, wenn M ⊥ = {0} gilt.
Aufgabe 13 Sei H Hilbertraum, ℓ : H → C ein lineares Funktional. Dann gilt:
ℓ stetig
⇐⇒
ℓ stetig bei 0
⇐⇒
ℓ beschränkt.
Aufgabe 14 Für f ∈ C 1 (R; C) periodisch mit Periode 2π seien
1
cn := √
2π
Z
2π
−int
e
f (t) dt,
0
1
bn := √
2π
Z
2π
e−int f ′ (t) dt,
0
n ∈ Z.
Man zeige der Reihe nach:
P
P
P
(a) Es ist n∈Z |cn |2 < ∞, n∈Z |bn |2 < ∞ und n∈Z n2 |cn |2 < ∞.
P
(b) Es ist n∈Z |cn | < ∞.
(c) Die Folge der Partialsummen
gM (x) :=
M
X
n=−M
1
√ cn einx ,
2π
M ∈ N,
konvergiert gleichmäßig gegen eine stetige Funktion g, mit M → ∞.
(d) Man zeige, daß der gleichmäßige Limes g der Folge (gM )M ∈N mit f übereinstimmt.
Hinweis zu (d): Man darf ohne Beweis benützen, daß die Funktionen ( √12π e−int )n∈Z eine
R 2π
ONB von C([0, 2π]) bezüglich des Skalarprodukts hu, vi = 0 u(t)v(t) dt bilden. Daher
gilt nach Parseval ||f − gM || → 0,
M → ∞.
— bitte wenden! —
1
Aufgabe 15 ∗ (Ein Prä-Hilbertraum, der ein überabzählbares ONS besitzt.)
Es sei E der Vektorraum der trigonometrischen Polynome auf der reellen Achse, d.h., E
besteht aus allen Funktionen f : R → C der Form
f (t) =
n
X
ck eiαk t ,
(∗)
k=1
mit beliebigen Zahlen n ∈ N, ck ∈ C und (paarweise verschiedenen) αk ∈ R, für k =
1, . . . , n.
(a) Zeigen Sie, daß
Z A
1
f (t)g(t) dt
hf, gi := lim
A→∞ 2A −A
ein Skalarprodukt auf E liefert.
Pn
Hinweis. Für f ∈ E wie in (∗) gilt hf, f i = k=1 |ck |2 .
(b) Zeigen Sie, daß die Familie von Funktionen (gα )α∈R mit gα (t) := eiαt ein ONS in E
bildet.
Abgabe: Mittwoch, 03. 05. 2017 vor der Vorlesung.
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